2016年全国初中数学联合竞赛试题
第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?的小数部分，b是?t的小数部分，则
1，a是t2?311?? （ ） 2ba31 C. 1 D. 3 A. B. 22 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书
30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 3(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当
23333 a?b为整数时，ab? （ ）
13A.0 B. C.? D.?2
44 4.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,若
AB?8,CD?2,则?BCE的面积为 （ ）
A.12 B.15 C. 16 D.18
0 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角
线的交点为M，则DM? ( )
A.35 B. 23C.21 D. 22 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )
123A. B. C. D.1 234 二、填空题（本题满分
28分，每小题7分）
3（x?0）的图象x(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的坐标为 .
1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分，
AD?3,则AM? . 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，
CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .
3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 .
第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值.
22
二、（本题满分25分）
(A).如图，点C在以AB为直径的eO上，CD?AB于点D,点E在BD上，AE?AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与eO交于点N.证明:FN?DE.
333(B).已知：a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47.
222求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值.
222222
三、（本题满分25分）
(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且
(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .
xyyzzx(1) 求
111??的值. xyyzzx(2) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).
(B).如图，在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线
AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值.
2016年全国初中数学联合竞赛试题详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1.用?x?表示不超过x的最大整数，把x??x?称为x的小数部分.已知t?小数部分，b是?t的小数部分，则
1，a是t的
2?311?? （ ） 2ba31 C. 1 D. 3 A. B. 22【答案】A. 【解析】Qt?1?2?3,1?3?2,?3?2?3?4, 即3?t?4,
2?3
又
?a?t?3?3?1.?t??2?3,?2??3??1,??4??2?3??3,
?b??t?(?4)?2?3,?11112?33?11??????,故选A. 2ba2(2?3)2223?1
2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ）
A. 9种 B. 10种 C.11种 D.12种
【答案】C.
?x?y?z?30【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y,z,则?，
10x?15y?20z?500?即??y?z?30?x?y?20?2x，解得? 依题意得，x,y,z为自然数（非负整数），
?3y?4z?100?2x?z?10?x故0?x?10,x有11种可能的取值（分别为0,1,2,L,9,10)，对于每一个x值，y和z都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C.
3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：2?1?(?1),26?3?1, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ）
A.6858 B.6860 C.9260 D.9262 【答案】B.
22?【解析】(2k?1)3?(2k?1)3??(2k?1)?(2k?1)??(2k?1)?(2k?1)(2k?1)?(2k?1)??
3333
2?2(12k2?1) （其中k为非负整数），由2(12k?1)?2016得，k?9
?k?0,1,2,L,8,9，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为
33333333333??1?(?1)?(3?1)?(5?3)?L?(17?15)?(19?17)?19?1?6860.故选B. ??3(B）.已知二次函数y?ax?bx?1(a?0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a?b为整数时，（ ） ab?
2A.0 B.
【答案】B.
13 C.? D.?2 44 【解析】依题意知a?0,?b?0,a?b?1?0, 故b?0, 且b??a?1， 2aa?b?a?(?a?1)?2a?1，于是?1?a?0, ??1?2a?1?1
又a?b为整数，?2a?1?0, 故a??11?b,ab?，故选B. 244.已知eO的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C，连接AO并延长交eO于点E,
若AB?8,CD?2,则?BCE的面积为（ ）
A.12 B.15 C. 16 D.18
【解析】设OC?x,则OA?OD?x?2,
QOD?AB于C,?AC?CB?221AB?4, 22在Rt?OAC中，OC?AC?OA,
222即x?4?(x?2),解得x?3，即OC?3 （第4题答案图）
QOC为?ABE的中位线，?BE?2OC?6. QAE是eO的直径，??B?90o, 11?S?BCE?CB?BE??4?6?12. 故选A.
220 5.如图，在四边形ABCD中，?BAC??BDC?90，AB?AC?5,CD?1,对角线
的交点为M，则DM? ( )
A.35 B. 23C.
21 D. 22
（第5题答案图）
【答案】D. 【解析】过点A作AH?BD于点H,则?AMH～?CMD,?AHAM?,QCD?1, CDCM?AH?xAM ,设AM?x, 则CM?5?x,?AH?CM5?x在Rt?ABM中，BM?AB2?AM2?x2?5, 则AH?AB?AM?BM5xx?52
?5xx2?5?x,显然x?0，化简整理得2x2?55x?10?0 5?x解得x?5,（x?25不符合题意，舍去），故 251,在Rt?CDM中，DM?CM2?CD2?,故选D. 22CM? 6.设实数x,y,z满足x?y?z?1, 则M?xy?2yz?3xz的最大值为 ( )
123A. B. C. D.1
234【答案】C.
【解析】
M?xy?(2y?3x)z?xy?(2y?3x)(1?x?y)??3x2?4xy?2y2?3x?2y
22?21?1??1????2??2?y?2?x??y??x????3x?3x?2?x??
2?2??2???????1?11??1?33????2?y?x???x2?x???2?y?x????x????
2?22??2?44??222 当且仅当x?,y?0时，M取等号，故Mmax? 二、填空题（本题满分
123，故选C. 428分，每小题7分）
3（x?0）的图象x(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)
1.【1(A)、2（B）】 已知?ABC的顶点A、C在反比例函数y?00上，?ACB?90,?ABC?30,AB?x轴，点B在点A的上方，且AB?6,则点C的
坐标为 .
【答案】??3??2,2??. ?? 【解析】如图，过点C作CD?AB于点D. 在Rt?ACB中，BC?AB?cos?ABC?33 在Rt?BCD中，CD?BC?sinB?33, （第1题答案图） 2?933??3?BD?BC?cosB?,?AD?AB?BD?,设C??m,m??,A??n,n??， 22????依题意知n?m?0,故CD?n?m,AD?33?，于是 mn?33?3n?m???3??m??2 解得?. ,2?2，故点C的坐标为????2???n?23?3?3?3??n2?m1(B).已知?ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把?BAC三等分，
AD?3,则AM? . 【答案】2.
【解析】
（第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2）
依题意得?BAD??DAM??MAC,?ADB??ADC?90, 故?ABC??ACB. (1)若?ABC??ACB时，如答案图1所示，?ADM≌?ADB,?BD?DM?又AM平分?DAC, ?01CM, 2ADDM11??,在Rt?DAC中，即cos?DAC?, ACCM22??DAC?600, 从而?BAC?900,?ACD?300.
在Rt?ADC中，CD?AD?tan?DAC?在Rt?ADM中，AM?3?tan60o?3, DM?1.
AD2?DM2?2.
(2)若?ABC??ACB时，如答案图2所示.同理可得AM?2.综上所述，AM?2. 2(A).在四边形ABCD中，BC∥AD,CA平分?BCD,O为对角线的交点，
CD?AO,BC?OD,则?ABC? . 【答案】126.
【解析】设?OCD??,?ADO??,
oQCA平分?BCD,??OCD??OCB??,
QBC∥AD,??ADO??OBC??,?DAO??OCB??, (第2题答案图) ??OCD??DAO??,?AD?CD,QCD?AO,?AD?AO,
??ADO??AOD??BOC??OBC??,?OC?BC, QBC?OD,?OC?OD,??ODC??OCD??
Q?BOC??ODC??OCD,?BOC??OBC??OCB?180o
ooo ???2?,??2??180,解得??36,??72，??DBC??BCD?72,
o180o???54o, ?BD?CD?AD,??ABD??BAD?2故?ABC??ABD??DBC?126.
3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】167334.
【解析】设两个三位数分别为x,y，则1000x?y?3xy，①
，?y?3xy?1000x?(3y?1000)x,故y是x的正整数倍，不妨设y?tx（t为正整数）代入①得1000?t?3tx,?x?o1000?t1000?t,Qx是三位数，?x??100，解得 3t3tt?1000,Qt为正整数，?t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有t?2符合，此时 299x?167,y?334. 故所求的六位数为167334.
3(B).若质数p、q满足：3q?p?4?0,p?q?111,则pq的最大值为 . 【答案】1007.
2?4? 【解析】由3q?p?4?0得，p?3q?4,?pq?q(3q?4)?3q2?4q?3?q???,
3?3?2
因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值.
又p?q?111，?3q?4?q?111,?q?283，因q为质数，故q的可能取值为 423,19,17,13,11,7,5,3,2，但q?23时，p?3q?4?65?5?13不是质数，舍去.
当q?19时,p?3q?4?53恰为质数.故qmax?19,(pq)max?53?19?1007.
4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M,则M的最大值为 . 【答案】10.
【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M的最大值.
(1)若5个1分布在同一列，则M?5；
(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 2M?5?1?5?3?20,故M?10;
(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 3M?5?1?5?2?5?3?30,故M?10;
(4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，M?10.
另一方面，如下表的例子说明M可以取到10.故M的最大值为10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 3 2 3 4 4 5 5
3 第二试
(3月20日上午9:50 — 11:20)
一、（本题满分20分）
已知a,b为正整数，求M?3a?ab?2b?4能取到的最小正整数值.
【解析】解：因a,b为正整数，要使得M?3a?ab?2b?4的值为正整数，则有
2222a?2.
当a?2时，b只能为1，此时M?4.故M能取到的最小正整数值不超过4.
当a?3时，b只能为1或2.若b?1,M?18;若b?2，则M?7.
当a?4时，b只能为1或2或3.若b?1,M?38;若b?2,M?24;若b?3,则M?2. (下面考虑：M?3a?ab?2b?4的值能否为1？)
22
（反证法）假设M?1，则3a?ab?2b?4?1，即3a?ab?2b?5，
2222a(3a?b2)?2b?5 ①
因b为正整数，故2b?5为奇数，从而a为奇数，b为偶数， 不妨设a?2m?1,b?2n，其中m,n均为正整数，则
2222?a(3a?b2)?(2m?1)?3(2m?1)?(2n)?4(3m?3m?2mn?n)?3 ??即a(3a?b)被4除所得余数为3，而2b?5?2(2n)?1?4n?1被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故M?1.因此，M能取到的最小正整数值为2.
二、（本题满分25分）
(A).如图，点C在以AB为直径的eO上，CD?AB于点D,点E在BD上，
2AE?AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与eO交于点N.证明:FN?DE.
(第2(A)题答案图) 【证明】：连接BC、BN.QAB为eO的直径，CD?AB于点D
??ACB??ANB??ADC?90o
Q?CAB??DAC,?ACB??ADC,??ACB∽?ADC,
?ACAB?,?AC2?AD?AB ADAC由四边形DEFM是正方形及CD?AB于点D可知: 点M在CD上，DE?DM?EF?MF
Q?NAB??DAM,?ANB??ADM,??ANB∽?ADM,
?ANAB?,?AD?AB?AM?AN,?AC2?AM?AN, ADAMQAE?AC,?AE2?AM?AN
以点F为圆心、FE为半径作eF,与直线AM交于另一点P,则eF与AB切于点E,即AE是eF的切线，直线AMP是eF的割线，故由切割线定理得AE?AM?AP
2
?AN?AP,即点N与点P重合，点N在eF上，?FN?FE?DE.
(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)
333(B).已知：a?b?c?5, a?b?c?15, a?b?c?47.
222求(a?ab?b)(b?bc?c)(c?ca?a)的值. 【解析】由已知得ab?bc?ca?33322222212222?(a?b?c)?(a?b?c)???5 2?222 由恒等式a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)得，
47?3abc?5?(15?5),?abc??1
又a?ab?b?(a?b?c)(a?b)?(ab?bc?ca)?5(5?c)?5?5(c?1) 同理可得b?bc?c?5(4?a),c?ca?a?5(4?b)
∴原式=5(4?a)(4?b)(4?c)?125?64?16(a?b?c)?4(ab?bc?ca)?abc?
3222222?125?[64?16?5?4?5?(?1)]?625.
【注：恒等式(t?a)(t?b)(t?c)?t?(a?b?c)t?(ab?bc?ca)t?abc】 三、（本题满分25分）
(A).已知正实数x,y,z满足：xy?yz?zx?1 ,且
32(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4 .
xyyzzx(3) 求
111??的值. xyyzzx(4) 证明:9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).
(x2?1)(y2?1)(y2?1)(z2?1)(z2?1)(x2?1)???4， 【解析】（1）解：由等式
xyyzzx去分母得z(x?1)(y?1)?x(y?1((z?1)?y(z?1)(x?1)?4xyz，
222222x2y2z?xy2z2?x2yz2??x(y?z)?y(z?x)?z(x?y)?3xyz????(x?y?z)?xyz?0,
222222xyz(xy?yz?zx)?(x?y?z)(xy?yz?zx)?(x?y?z)?xyz?0，
?[xyz?(x?y?z)](xy?yz?zx?1)?0，Qxy?yz?zx?1,?xy?yz?zx?1?0，
?xyz?(x?y?z)?0,?xyz?x?y?z，?原式=
x?y?z?1. xyz （2）证明：由（1）得计算过程知?xyz?x?y?z，又Qx,y,z为正实数,
?9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx) ?9(x?y)(y?z)(z?x)?8(x?y?z)(xy?yz?zx) ?x(y2?z2)?y(z2?x2)?z(x2?y2)?6xyz ?x(y?z)2?y(z?x)2?z(x?y)2?0.
∴9(x?y)(y?z)(z?x)?8xyz(xy?yz?zx).
【注：(x?y)(y?z)(z?x)?xy?xy?yz?yz?zx?zx?2xyz
222222?x(y2?z2)?y(z2?x2)?z(x2?y2)?2xyz
(x?y?z)(xy?yz?zx)?x2y?xy2?y2z?yz2?z2x?zx2?3xyz
?x(y2?z2)?y(z2?x2)?z(x2?y2)?3xyz】
(B).如图，在等腰?ABC中,AB?AC?5,D为BC边上异于中点的点，点C关于直线
AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点F, 求AD?AF的值.
（第3（B）题答案图）
【解析】如图，连接AE,ED,CF,则QAB?AC,??ABD??ACB
Q点C关于直线AD的对称点为点E,??BED??BCF,?AED??ACD??ACB
??ABD??AED,?A,E,B,D四点共圆,??BED??BAD(同弧所对得圆周角相等)
??BAD??BCF,?A,B,F,C四点共圆，??AFB??ACB??ABD
??AFB∽?ABD,?ABAF?,?AD?AF?AB2?ADAB??52?5.
（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）
------------------------------------------------------------------------ 怎样才能学好数学
一、把握好课堂的每一分钟
如今的小学数学教师，都比较重视课堂教学的效益，所以，老师最期盼的事情就是：学生能够专心听讲，眼睛时刻盯在老师身上，或者盯在黑板上。这里为什么要强调“盯”？因为“盯”与“看”的意思有很大不同。看，是指使视线接触人或物。盯，在百度百科中的解释是：注视，集中视力看着，不放松。由此可见，“看”只是指学生的眼睛接触到了人和物，究竟有没用用心地看，则说不准。而“盯”的意思是指学生用心的看，并且在看的过程中持续地思考。
作为小学数学老师，我们往往都会有这样的感觉：在上课时，全班有99%学生的学生都是看老师、看黑板，但是，他们的学习效果却会相差很大，其原因实际上就是“盯”与“看”的区别。有的学生只是看老师讲，但没有用心地看，不动脑筋，那样的听课效果肯定很差。而有的学生是用心地看老师讲解，并且在看的过程中还用心思考，所以成绩就好。
因此，我觉得，只要学生能够把握好课堂的每一分钟，把老师讲解的知识点都能吸收和消化，那么，他的成绩一定会很好。相反，如果课堂上不用心听讲，指望课后再去弥补，则不会取得多大的效果。这也是很多孩子即使参加了课外补习也不能有效提高数学成绩的原因。但是，在现实中，还有很多家长热衷于把孩子送去补习班，指望通过补习来提高孩子的数学成绩，实际上，这样的做法是无效的。
二、认真对待每一次练习
前面提到的“把握好课堂的每一分钟”，主要目的是能够把老师讲解的知识点都能吸收进来。但是，要把知识点转化为自己的解题能力，还需要通过适当的练习才能实现。所以，要想学好小学数学，还是要认真对待每一次练习。无论是数学课本上的练习题，还是课外资料上的题目，或者是平时的小测验，都要认真去做，这样才能有效检验自己的掌握程度，才能知道对哪个知识点还有欠缺。
练习既有巩固知识点的作用，也有“查漏补缺”之功效。对于数学练习，不仅要认真做，而且在老师批改后，还要认真地订正。订正时，要尽可能地独立思考解决，而不能直接参考同学的答案，或者拿别人的答案来抄写，那样的订正实际上是没有一点作用的。对于自己在订正中仍然没有弄清楚的问题，就要在老师讲解过程中专心地听、用心地思考。如果老师不讲解，可以直接去问老师该如何解答。因为老师毕竟在数学教学方面的经验比较丰富，知道怎样讲解才能使学生容易听懂。所以，能够有机会问老师的，就不要去问同学。
三、要重点攻克难点问题
有了前面两方面的努力作为基础，我想，学生的数学成绩想考到85~90分以上，已经不存在什么难度了。那么，接下来的问题，就是如何让学生能达到95分以上甚至是100分。根据我的经验，学生在考试中容易丢分的往往只是一些少数的知识点甚至是个别难点。不过，在小学阶段，数学中的知识点也并不多。
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