全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题20函数真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为 . 2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足
，则不等式组3．【2017年全国联赛】设
.则
的解集为 . .当0≤x＜7时，
为定义在R上的函数，对任意实数x有的值为____________。
4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若的值为________. 5．【2015年全国联赛】设值为______.
6．【2014年全国联赛】若正数a，b满足2?log2a?3?log3b?log6(a?b)，则7．【2014年全国联赛】设集合_________.
为不相等的实数.若二次函数
满足
，则
，则的
11?? ． ab的值为__中的最大、最小元素分别为M、m，则8．【2014年全国联赛】若函数f?x??x?ax?1在?0,???上单调递增，则实数a的取值范围是 . 29．【2013年全国联赛】设最大值为______.
10．【2012年全国联赛】设11．【2011年全国联赛】函数12．【2011年全国联赛】设13．【2010年全国联赛】函数14．【2010年全国联赛】函数
为实数，函数满足：对任意的，有.则的
.则
的值域为______.
为正实数，且
的值域是________.
在区间
.则
的最大值是______.
______.
上的最大值为8.则它在
这个区间上的最小值是________. 15．【2009年全国联赛】若函数
，且
．则
______．
16．【2009年全国联赛】若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． .
17．【2018年全国联赛】已知定义在R+上的函数f（x）为
设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围. 18．【2016年全国联赛】已知
的值.
19．【2013年全国联赛】求所有的正实数对
.
20．【2012年全国联赛】设不等式
是定义在R上的奇函数，且当
时，
，使得函数
为R上的奇函数，
，且对任意
，均有
.求
满足：对任意的实数
，若对任意的，
恒成立，则实数的取值范围是 ．
，实数.求
的值.
的最大值和最小值．
是正整数）.证明：对满足表示不超过实数的最大整数）.
是给定的正整数，.证明：存在正整数，使得
.记
为一个整数，其的任意实数
，
满足
21．【2011年全国联赛】设函数
22．【2009年全国联赛】求函数23．【2012年全国联赛】设数列
中有无穷多项属于
24．【2010年全国联赛】设
中，表示不小于实数的最小整数（如
）.
1．【2018年浙江】已知a为正实数，且2．【2018年山西】函数
的值域为________.
是奇函数，则的值域为________.
3．【2018年福建】函数的最小值为________.
4．【2018年福建】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________. 5．【2018年江苏】设______.
6．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．
7．【2018年贵州】函数
的最小值是______．
，期中
表示
的最大公约数，则
的值为__
8．【2018年贵州】若方程ax>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______． 9．【2018年北京】已知实数10．【2018年北京】已知函数
满足满足
，那么
，则
________.
的值域为_______.
，这
，都有
，已知对
11．【2018年福建】设是由有限个正整数构成的集合，且里任意的
表示集合的元素个数） 12．【2016年江苏】已知函数（1）若对于任意的（2）当
，均有
，证明：
． ；
成立的充分必要条件为
的实数解．
的定义域为
，且在
内递减，求满足：
．
，2，…，20．并对任意的
，若
，则
．求集合的元素个数的最小值．（这里，
时，证明：对于任意的
13．【2016年江苏】求方程14．【2016年甘肃】已知奇函数的实数的取值范围．
15．【2016年北京】黑板上写有方程
方程的的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根.
.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题20函数真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足【答案】 【解析】由
.
2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足
，则不等式组
【答案】
的解集为
.
.
，则
的值为
.
【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间. 注意到所以而
3．【2017年全国联赛】设
.则
【答案】【解析】 由题得
，所以函数的周期为7，
.
.
，故原不等式组成立当且仅当
为定义在R上的函数，对任意实数x有的值为____________。
.
.当0≤x＜7时，
.
故答案为：
，则
4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若的值为________. 【答案】 【解析】 令
.则:
.
故从而，
5．【2015年全国联赛】设值为______. 【答案】4 【解析】
由已知条件及二次函数图像的轴对称性得
. .
为不相等的实数.若二次函数
满足
，则的
.
故答案为：4
6．【2014年全国联赛】若正数a，b满足2?log2a?3?log3b?log6(a?b)，则【答案】108 【解析】
试题分析：设2?log2a?3?log3b?log6(a?b)?t?a?2t?211?? ． ab,b?3t?3,a?b?6t?11a?b ??abab6t?t?2t?3?108． 2?3考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合
中的最大、最小元素分别为M、m，则的值为
___________. 【答案】【解析】 由当又因此，
.
2
，知
时，取得最大元素
，当
. .
时，取得最小元素
.
8．【2014年全国联赛】若函数f?x??x?ax?1在?0,???上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】[0,2] 【解析】
22?a??x?ax?a,x??1,????2试题分析：f?x???2，x??1,???时，f?x??x?ax?a=?x??
2????x?ax?a,x????,1?a2a?a2a??a?2?a?，x????,1?时，f?x??x?ax?a=?x???a?.①当?1即a??时，f?x?在????422?4?2??上单调递减，在?2aa?a?,???上单调递增，不合题意;②当0??1即0?a?2时，符合题意;③当?0即
22?2?a?0时，不符合题意.综上，a的取值范围是?0,2?.
考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设最大值为______. 【答案】 【解析】 易知则
.
，
为实数，函数
满足：对任意的
，有
.则
的
当，即时，取最大值. .则
的最大值是______.
10．【2012年全国联赛】设【答案】【解析】 不妨设由当且仅当
11．【2011年全国联赛】函数【答案】【解析】 由题得x≠1， 设
.则 .则
.
.
.
时，上式等号同时成立.
的值域为______.
.
设.因为，
所以所以则故答案为：
12．【2011年全国联赛】设【答案】【解析】 由又
，得 ，且
.故
，
，
.
为正实数，且
.则
______.
.
，
即于是，
. ①
②
.与式②联立解得
再由式①中等号成立的条件，得
故
.
故答案为：-1
13．【2010年全国联赛】函数【答案】【解析】 易知，
的定义域是
，且
上是增函数.从而，
的值域为在区间
.
上的最大值为8.则它在
的值域是________.
14．【2010年全国联赛】函数这个区间上的最小值是________. 【答案】【解析】
试题分析：由题意得，令
，因为，所以当
，解得
则
，则
，解得
小值为
.
，当
时，则，则
时，函数取得最大值，此时最大值为
；当
时，
，所以函数的最小值为
，所以当
，所以函数的最小值为
时，函数取得最大值，此时最大值为
，所以函数的最
考点：函数的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次
函数的图象与性质是解答问题的关键. 15．【2009年全国联赛】若函数
，且
．则
______．
【答案】 【解析】 因为
，所以
．故
．
16．【2009年全国联赛】若方程【答案】【解析】
仅有一个实根，那么的取值范围是 ．
当且仅当
① ①
①
对①由求根公式得
①
．
(ⅰ)当
时，由①得
所以又由①知
同为负根．
所以原方程有一个解． (ⅱ)当
时，原方程有一个解
．
(ⅲ)当所以综上可得
时，由①得同为正根，且
，不合题意，舍去．
为所求．
.
17．【2018年全国联赛】已知定义在R+上的函数f（x）为
设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围. 【答案】（81，144）.
【解析】不妨假设a a∈（0，3），b∈（3，9），c∈（9，+∞），并且f（a）=f（b）=f（c）∈（0，1）. 由f（a）=f（b）得即又 . ，因此ab=32=9.于是abc=9c. ， 故c∈（9，16）.进而abc=9c∈（81，144）. 所以，abc的取值范围是（81，144）. 18．【2016年全国联赛】已知 的值. 【答案】【解析】 设 .则 . 为R上的奇函数， ，且对任意 ，均有 .求 在中，取. 注意到，故 ，及为奇函数. . 则 . 19．【2013年全国联赛】求所有的正实数对 . 【答案】【解析】 由题意得先求 所满足的必要条件. ，得 . 由于 ，故 可取到任意大的正值，因此，必有，得 .② 将式②左边记为 .显然， . 则故 可取到负值，矛盾. 对一切实数成立. 于是， ，即 . ，再由 ，知 . .否则，由 ，知 ，此时， ，即 . . ① ，使得函数 满足：对任意的实数 在式①中令 在式①中再令 进一步，考虑到此时 从而，求得满足的必要条件为 .③ 下面证明，对满足条件③的任意实数对及任意非负实数，式①总成立，即 . 事实上，在条件③成立时，有再结合 ，得 . . 综上，所求的正实数对20．【2012年全国联赛】设不等式【答案】【解析】 略 全体为 是定义在R上的奇函数，且当 时， . ，若对任意的 ， 恒成立，则实数的取值范围是 ． 21．【2011年全国联赛】设函数 .求 【答案】【解析】 由题设得 ，实数的值. 满足 . 则由又由于是，故从而， .解得 ，知 .故有意义，知 .则 . （舍去）. . ① .从而， . . 把，代入式①解得.因此，. 的最大值和最小值． 22．【2009年全国联赛】求函数【答案】 【解析】 函数的定义域为 .因为 当 时等号成立．故的最小值为 ．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 所以 ． ………………………………………………………………………………10分 ，解得 ．故当 时等号成立．因此的 由柯西不等式等号成立的条件，得最大值为 ．…………………………………………………………………………………15分 是正整数）.证明：对满足表示不超过实数的最大整数）. 的任意实数 ， 23．【2012年全国联赛】设数列 中有无穷多项属于 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 证法1 （1）对任意 ，有 . 令 .则 . 又令从而，存在 .则 ，使得 . 否则，存在于是，故一定存在 ，使得 ，与，使得 . ，使得.故不存在 ，使得 . . ，矛盾. . （2）假设只有有限个正整数令 .则 ，与（1）的结论矛盾. 所以，数列 中有无穷多项属于 .综上，原命题成立. 证法2 由证法1，知当充分大时，可以大于任何一个正数. 令当 时， .则 . . 的正整数，总存在 ，使得 ，即 同证法1可证，对于任何大于 . 令则 . ，使得 . 故一定存在从而， . . 这样的有无穷多个. 所以，数列 中有无穷多项属于 . 24．【2010年全国联赛】设是给定的正整数，.证明：存在正整数，使得 .记 为一个整数，其 中，表示不小于实数的最小整数（如）. 【答案】见解析 【解析】 记下面对当此时，假设命题对于 对成立 ，设的二进制表示具有形式 ， 其中，故 显然，中所含的2的幂次为故由归纳假设知，由式①知， 经过 是一个整数. 1．【2018年浙江】已知a为正实数，且【答案】【解析】 由 为奇函数可知 的值域为 . ，解得a= 2，即 ， 是奇函数，则 的值域为________. . 次迭代得到整数. 或l， . . ① 表示正整数所含的2的幂次.则当 用数学归纳法. 时，为奇数， 为偶数， 为整数. 时， 为整数. 由此得 2．【2018年山西】函数【答案】【解析】 由条件知令 ， . .则 的值域为________. ， ， 因为 ，所以， . 的最小值为________. 3．【2018年福建】函数【答案】【解析】 设log3x=t，则∴ . . ∴当时，f(x)取最小值. 4．【2018年福建】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________. 【答案】[1，2] 【解析】 ∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线. ∴ ，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2. ∴a的取值范围为[1，2]. 5．【2018年江苏】设________. 【答案】520 【解析】 如果又所以 故答案为：520 . ，则 ，期中表示的最大公约数，则的值为 ，所以. ， 6．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______． 【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】 由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞． 因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿． 故答案为：牛得亨先生的女儿 7．【2018年贵州】函数 【答案】【解析】 因为 的最小值是______． 此即为直线y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离 ． 故答案为： 8．【2018年贵州】若方程ax>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______． 【答案】【解析】 由ax>x知x>0，故 ；当 即故答案为： ． 满足 ，则 ________. 时， ．所以 ，令 （x>0），则 ．当 时，， 在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．故 9．【2018年北京】已知实数【答案】1 【解析】 化 为对数，有 . ，所以 10．【2018年北京】已知函数【答案】【解析】 设函数 满足 满足，那么的值域为_______. ， .所以所求函数是 的值域是 . ，其图像如图，易知 11．【2018年福建】设是由有限个正整数构成的集合，且里任意的 表示集合的元素个数） 【答案】180 【解析】 记不妨设设 因为对任意的又对任意的所以当即，当所以 ，2，…， ，2，…，． ，都有 ，若 ，…，20时，，…，20时， ． 若若 ，则，则 ．所以总有 ． ，其中符合要求． ． ，2，…，20， ． ． ，所以 ，则 ． ，…， 互不相同，， ，即 ． ，…，20． ，2，…，20．并对任意的 ，若 ，则 ，都有 ，这，已知对 ．求集合的元素个数的最小值．（这里， ． 另一方面，取则此时， 综上所述，集合的元素个数的最小值为180． 12．【2016年江苏】已知函数 ． （1）若对于任意的（2）当 ，均有，证明：； 成立的充分必要条件为 ． 时，证明：对于任意的 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）因为又 ，故 恒成立，所以， ． ． （2）必要性： 对于任意的 ．则 ，即 ． 又，得．从而，． 因此，充分性： 由 ，且 ． ，则对于任意的，有 ． 又 13．【2016年江苏】求方程【答案】【解析】 令则令注意到，则 ，即 ． ． ． ，故． 的实数解． ． ． 又，当时，． 故．于是，对任意的，有． ，且在 ．从而，． 综上，原方程的实数解构成的集合为14．【2016年甘肃】已知奇函数的实数的取值范围． 【答案】【解析】 由f(x)的定义域是[－2，2]， 知 的定义域为 内递减，求满足： 解得－1≤m≤. 因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m) 方程的的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根. 【答案】见解析 【解析】 设三个★的位置为 .则原方程为 ① 将任意三个两两不同的整数中最大的放在，设故 . ， .则三个数中另外两个较小的数为 . .证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在 于是，若以放在左边第一个★的位置的二次方程为则 . 从而，方程①有实根. 因此，任意三个两两不同的整数，只要以其中最大的一个放在左边第一个★的位置，其余两个放在后两个★的位置，所得的方程就有实根.
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