1．(2011年开封高二检测)在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( ) A.6 B.2 C.3 D．26
abasinB
解析：选A.应用正弦定理得：＝，求得b＝＝6.
sinAsinBsinA
2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( ) A．42 B．43
32
C．46 D.
3asinB
解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝46.
sinA43
3．在△ABC中，∠B＝45°，c＝22，b＝，则∠A的大小为( )
3
A．15° B．75° C．105° D．75°或15°
解析：选D.∵∠B为锐角，又csinB＜b＜c，∴三角形有两解．
π
4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝，则A
3
＝________.
ac
解析：由正弦定理得：＝，
sinAsinC
a·sinC1
所以sinA＝c＝.
2ππ
又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝. 36
π答案： 6
5．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？
1
解：在△ABC中，BC＝40×＝20，
2
∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得
BC·sin∠ABCAC＝
sinA
20sin30°＝＝102(km)． sin45°
即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.
1．在△ABC中，一定成立的等式是( ) A．asinA＝bsinB B．asinB＝bsinA C．acosA＝bcosB D．acosB＝bcosA
ab
解析：选B.由正弦定理得：＝，故asinB＝bsinA.
sinAsinB
2．(2009年高考广东卷)已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.若a＝c＝6＋2，且∠A＝75°，则b＝( )
A．2 B.6－2 C．4－23 D．4＋23
2＋6
解析：选A.sinA＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝.
4
由a＝c＝6＋2可知，∠C＝75°，
1
所以∠B＝30°，sinB＝，
2
由正弦定理得
2＋61a
b＝·sinB＝×＝2，故选A. sinA2＋62
43．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )
A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对
abbsinA2
解析：选C.由正弦定理＝得：sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝
asinAsinB2
45°.
π
4．(2011年青岛高二检测)在△ABC中，∠A＝，BC＝3，则△ABC的两边AC＋AB
3
的取值范围是( )
A．[33，6] B．(2,43) C．(33，43] D．(3,6]
BC·sinB3·sinB
解析：选D.在△ABC中，AC＝＝＝
sinAπ
sin3
23sinB，AB＝23sinC，
∴AC＋AB＝23sinB＋23sinC＝23(sinB＋sinC)
2π＝23[sinB＋sin(－B)]
32π2π
＝23(sinB＋sincosB－cossinB)
33
33
＝23(sinB＋cosB)
22
31π
＝23×3(sinB＋cosB)＝6sin(B＋)，
2262πππ5ππ1π
∵0＜B＜，∴＜B＋＜，∴sin(B＋)∈(，1]，∴AC＋AB＝6sin(B＋)∈(3,6]．
3666626
5．在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝60°，a＝1，则最短边的边长是( )
66A. B. 3213C. D. 22
abasinB1
解析：选C.由＝得，b＝＝，
sinAsinBsinA2
∵∠B最小，∴最小边是b.
6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，
则c＝( )
A．1 C．2
1B. 21D. 4
2×sin 30°bc
解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.
sinBsinCsin45°
43
7．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.
3ab
解析：由正弦定理得＝
sinAsinB14×2bsinA3
?sinB＝a＝＝.
4323
3
答案：
2
8．(2011年盐城高二检测)在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.
解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，
12×sin30°ab
由＝得，a＝＝43， sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：83
9．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．
1
解析：∵bsinC＝43×＝23且c＝2，
2
∴c CC1 10．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sincos＝，sin 224 A Bsin C＝cos2，求A、B及b、c. 2 CC11解：由sincos＝，得sinC＝， 2242 π5π 又C∈(0，π)，所以C＝或C＝. 66A 由sin Bsin C＝cos2，得 21 sin Bsin C＝[1－cos(B＋C)]， 2 即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)， 即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1， π5π 即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝，B＝C＝(舍去)， 66 2π A＝π－(B＋C)＝. 3abc 由正弦定理＝＝，得 sin Asin Bsin C 12sin B b＝c＝a＝23×＝2. sin A3 2 2ππ 故A＝，B＝，b＝c＝2. 36 11．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为 310 a、b、c，且cos 2A＝，sin B＝. 510 (1)求A＋B的值； (2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 10 解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝， 10 310∴cos B＝1－sin2B＝. 103525又cos 2A＝1－2sin2A＝，∴sinA＝，cos A＝， 555 ∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B 253105102＝×－×＝. 5105102 π 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝. 4 3π2 (2)由(1)知，C＝，∴sin C＝. 42abc 由正弦定理：＝＝得 sin Asin Bsin C 5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b. ∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1. ∴a＝2，c＝5. 12．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋2b＝2c，求sinC的值． 解：因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°， 所以B＝60°，A＋C＝120°. 所以0°＜A＜120°，0°＜C＜120°. 又因为a＋2b＝2c，所以sinA＋2sinB＝2sinC， 所以sin(120°－C)＋2sin60°＝2sinC， 2 所以3sinC－cosC＝2，即sin(C－30°)＝. 2 又因为0°＜C＜120°且sin(C－30°)＞0， 所以0°＜C－30°＜90°. 所以C－30°＝45°，C＝75°. 所以sinC＝sin75°＝6＋2 . 4
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