(1)若a＝e，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．
1
【解】 (1)由题意知，当a＝e时，f(x)＝xex－e(x＋1)2，函数f(x)的定义域为(－∞，＋
2∞)，
f′(x)＝(x＋1)ex－e(x＋1)＝(x＋1)(ex－e)． 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示： x f′(x) f(x) (－∞，－1) ＋ －1 0 1极大值－ e(－1，1) － 1 0 极小值－e (1，＋∞) ＋ 1所以当x＝－1时，f(x)取得极大值－；当x＝1时，f(x)取得极小值－e.
e1
(2)令f(x)＝0，即xex－a(x＋1)2＝0，
21
得xex＝a(x＋1)2.
2
1－
当x＝－1时，方程为－e1＝a×0，显然不成立，
2所以x＝－1不是方程的解，即－1不是函数f(x)的零点． 2xex
当x≠－1时，分离参数得a＝.
（x＋1）22xex
记g(x)＝(x≠－1)，
（x＋1）2（2xex）′（x＋1）2－[（x＋1）2]′·2xex
则g′(x)＝
（x＋1）42ex（x2＋1）＝. （x＋1）3当x<－1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减； 当x>－1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．
当x＝0时，g(x)＝0；当x→－∞时，g(x)→0；当x→－1时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
故函数g(x)的图象如图所示．
- 9 -
作出直线y＝a，由图可知，当a<0时，直线y＝a和函数g(x)的图象有两个交点，此时函数f(x)有两个零点．故实数a的取值范围是(－∞，0)．
利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
[对点训练]
a
(2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝(a－1)x＋＋ln x(a>0)．
x(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若g(x)＝f(x)－m，当a＝2时，g(x)在[e1，e]上有两个不同的零点，求m的取值范围．
－
2
a1（a－1）x＋x－a[（a－1）x＋a]（x－1）
解：(1)f′(x)＝a－1－2＋＝＝，
xxx2x2①当a＝1时，f′(x)＝
x－1
，令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0 a ②当a>1时，令f′(x)>0，得x>1或x<－<0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋ a－1∞)上单调递增． ③当a<1时， aa1a (i)0 2????1－a＋∞)上单调递减； 1 (ii)a＝时，f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 2 a1a (iii) 2??1－a ?a，＋∞?上单调递减． ?1－a? 2－ (2)由(1)知，当a＝2时，f(x)＝x＋＋ln x在[e1，1]上单调递减，在(1，e]上单调递增． x2－－－ 所以f(x)min＝f(1)＝3，f(e1)＝e1＋2e－1，f(e)＝e＋＋1，f(e1)>f(e)， e2 3，e＋＋1?. 所以m∈?e?? - 10 - 可化为函数零点的函数问题与函数零点性质研究 本考点包括两个方向：一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法)；二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧)． 能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等．求解时一般先通过等价转换，将已知转化为函数零点问题，再构造函数，然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等，并结合分类讨论，通过确定函数的零点达到解决问题的目的． 高考真题 思维方法 - 11 - (1)略 (2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2. 【可化为函数零点的函数问题】 (2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0，2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2. (1)求a； (2)证明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点. 设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.【关键1：等价转换，构造函数】 由题设知1－k>0. 当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增， g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．【关键2：利用导数判断函数单调性，判断函数的实根情况】 当x>0时，令h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x). h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根. 综上，g(x)＝0在R有唯一实根， 【关键3：利用导数判断函数单调性，结合零点存在性定理判断实根情况】即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点. - 12 -
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