群的阶与其元的阶之间的关系

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这即是说,?x?y??xy所以?是G与G间的同构映射,所以G是一个群,但G的单位元e的象?e:g?ge?g

是G的横等变换?,所以G是G的变换群.且G与G的变换群G同构.这个定理告诉我们, 任意一个抽象群都能够在变换群里找到一个具体的实例． 2.2.3 内直和和外直积的定义

设子集H?{h1,?ht}?G，而规定

Z?H?{n1?h1???nt?ht|ni?Z，1?i?t}，易见Z?H??H?，即Z?H就是由H生成的子群，并且当H?{g1， ?gt}是群G的生成元集时，G?Z?H?Z?g1???Z?gt.

设G是加群，而Hi，1?i?t是G的子群.若'

''1)G?H1???Ht，即每一g都可表成h1???ht，hi?Hi. 2)若对任意g?G，由g?h1???ht?h1???ht，hi，hi?Hi，

必有hi?hi，i?1，?t，亦即这种表示法是唯一的。则称G是子群H1，?Ht的内直和，

'记作G?H1?H2???Ht.此时也称G可分解为子群H1，H2，?，Ht的直和．

有了内直和的定义，下面我们来看外直积的定义．

设Gi，i?1，?n，是群，令集合G?G1?G2???Gn，而规定集G中的一个二元运算如下：对gi，hi?Gi，i?1，2，?n，规定

(g1，g2，?gn)?(h1，h2，?hn)?(g1h1，g2h2，?gnhn)，这里gihi当然按群Gi中的运算得到的乘积。直接验证(G， )是一个群，称之为群Gi，i?1，?,n的外直积，记作G?G1?G2???Gn.特别，当所有Gi是交换群时，易见G也是交换群.我们常把G写成G?G1?G2???Gn，而称之为加群的（外）直

而写成 和.这时G的运算记作加法， (g1，g2，?gn)?(h1，h2，?hn)?(g1?h1，g2?h2，?gn?hn)，当然gi?hi是指按Gi的加法得到的和.令'''

'Gi?{(0，?0，gi，?，0)|gi?Gi}，

易见Gi是G的子群，Gi?Gi，且按内直和的定义有G是其子群Gi，i?1，，2?n，

的内直和．在这个意义上，内直和、外直积是互通的，虽然内直和概念是属于结构理论的，而外直积是属于构造理论的．

3 群中元的阶的各种情况及其实例分析

下面我们将从有限群、无限群两个角度来分析群中元的阶的各种情况，并举一些典型实例来说明．

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3.1 有限群中关于元的阶

3.1.1 有限群中元的阶的有限性

在有限群中，有这样一个定理：每一个元的阶都有限． 定理4 在有限群G中，每一个元都是有限阶的．

证 不妨设|G|=n，对?a?G，下面考虑集合A?{a,a2,a3,?an,an?1}

由群G的封闭性G1可知，a,a2,a3,?an,an?1均属于G．而|G|=n，所以必至少存在两个元素ai,aj(其中1?i?j?n?1),使ai?aj.则aj?i?e.所以a为有限阶的．证毕．

例8．令M是除去0，1以外的全体实数做成的集合，G为M的以下6个变换做成的集合：

?1(x)?x?4(x)?11?x,,?2(x)??5(x)?1xx?1x,?3(x)?1?x,?6(x)?xx?1.,

则G对变换的普通乘法显然满足G1—G4，做成一个群．单位元?1(x)的阶为1，另三个元?2(x),?3(x)?阶均为2．而?4(x),?5(x)的阶为3．因为,6的(x)(?4x(3)?)?(x53(?))2?x2((?3)x?)2(?(x?))62(?x?())()即在这个有限群中，每一个元1素的阶均为有限．

3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系

在有限群中，关于元的阶及其个数的关系，有较好的结论． 结论6．在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定为偶数．

证 假设G是一个有限群，a为G中任意一个阶数大于2的元素．则显然

a?a(否则a?e)．但a与a有相同的阶．事实上，设a?e，则-12-1n

(a)?a?1n?n?(a)n?1?e?1?e．

反之，又设(a?1)n?e，则an(a?1)n?ana-n?e.所以an?e. 所以a?1的阶也大于2．又设b也是G中一个阶大于2的元素，且

b?a，b?a.则易知b?1-1?a，b-1?a．

-1这就是说，群G中阶数大于2的元素是成对出现的，由于群G为有限群，所以G中阶数大于2的元素的个数一定为偶数．证毕．

推论 设G是一个偶数阶的有限群．则G中阶为2的元素的个数为奇数． 事实上，由于单位元是群G中阶为1的唯一的元素，又由结论6知群G中阶为2

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的元素的个数为偶数，所以G中阶为2的元素的个数一定为奇数．证毕．

例如在前面所举的例5．三次对称群S3中, 阶数大于2的只有 (123)，(132)两个, 为偶数． 且该群中阶为2的只有(12)，(13)，(23)三个, 为奇数, 这验证了该结论的正确性．

3.2 无限群中关于元的阶

由于在群中，单位元的阶为1，所以在无限群中关于元的阶大体上可分为以下三种情况．

3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限

这样的群确实存在．像我们在例1中所举的整数加群，就是一个典型的例子．任取整数a(a?1)，不存在正整数n，使na=1，即|a|=?．

所以在这个无限群中，除去单位元1外，其余每个元素都是无限阶的． 3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限

?例9．G＝?Gi，其中Gi为全体n次单位根对普通乘法所做成的群．则G显然满

i?1足G1—G5，做成一个Abel群，且每个元素的阶都有限．事实上，任取a?G,必然存在i?Z?，使a?Gｉ，则ai?1．故a为有限阶的．

另外，我们还可以举一个类似的例子．

例10．考虑实数域上行列式为1的二阶方阵所作成的集合A，即

??cos?A?????sin??sin???|??Rcos??

则易知，A中的运算为：

A??A??A?????cos??若记A????sin???sin?????. cos???所以集合A对于这种运算显然满足G1—G5，做成一个Abel群．

下面我们将集合A按阶相同做一个等价划分．即把阶相同的元素放在一个等价类里，那么

阶为1的只有A0,阶为2的只有A?,阶为3的只有A2,A4,3?3?

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阶为4的只有A1,A32?2?阶为5的只有A2,A4,A6,A8,??,5?5?5?5?

可见，在这样一个无限群里，每个元的阶均有限．

3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 这样的例子我们以前也有举过，像例7的非零有理数乘群．在这个群中，除单位元1的阶为1外，-1的阶为2，而其余每个元都是无限阶的．

4 群的阶与其元的阶之间的关系

在由于在无限群中，|G|=?．此时，群的阶与其元的阶之间的关系没什么意义．故本节主要探讨在有限群中，群的阶与其元的阶之间的关系．

4.1 拉格朗日(Lagrange)定理

在有限群中，关于群的阶与其元的阶之间的关系，有著名的拉格朗日定理．

4.1.1 拉格朗日定理

引理1．一个子群H与H的右陪集Ha之间都存在一个一一映射． 证 ?: h?ha．

是H与Ha间的一一映射．因为：

1) H的每一个元h有一个唯一的象ha； 2) Ha的每一个元ha是H的元h的象； 3）假如h1a?h2a，那么h1?h2，证毕．

引理2．假定H是一个有限群G的一个子群．那么H的阶n和它在G里的指 数j都能整除G的阶N，并且N=nj．

证 G的阶N既是有限，H的阶n和指数j也都是有限正整数．G的N个 元被分成j个右陪集，而且由引理1可知，每一个右陪集都有 n个元．所以N=nj．

因为N的指数就是N的陪集的个数，我们显然有商群GN的元的个数等于N的指数．当G是有限群的时候，由引理2可知

G的阶N的阶?GN的阶?[G:N]．

定理5(Lagrange定理)．一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶． 证 a生成一个阶是n的子群，由引理2知，n整除|G|．证毕．

例11．我们还是看例5中的S３和其子群H={(1),(12)}．S３的阶为6，H的阶为2，H的指数是3，2和3果然整除6，并且6=2×3．

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