第1讲 等差数列与等比数列
「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分. 核心知识回顾 1.等差数列
01aandanmd. (1)－－1)通项公式：□＝)＋(＝＋(mn02nanaa≥2)． N＝(2)＋，(等差中项公式：□∈2nnn*
1
naannd??－??＋103nSna项和公式：□(3)
n1
1＋－1
＝前＋＝. 01nnm－1－
222．等比数列
n1
mn1
qaaqa. (1)＝等比数列的通项公式：□＝
1＋－1
n项和公式：等比数列的前 (3)＝□qqaaa?－－?1q??≠1＝?，) qq?－11－nmlkp均为正整数，，，3．等差数列的性质(0102mnlkaamnpaa时，有□特别地，当＋＝＝＋＋＋2＝，＋)(反之不一定成立；则□(1)若 aaa. 2＝＋ 03abkatbkt是非零常数)}(是□}，{}是等差数列，则{，等差数列． (2)若{＋□项的和”即－ ，□(3)等差数列“依次每－，…仍是等差数列． 0405SSmSSS，
Sa0706nSndanSS＝□时，等差数列，(4)＝□{－}，项数为2，当项数
为－1时，2SaSn100809SSanaSaS＝□(2－－1).(且其中＝□＝□表， 表示所有的偶数项之和，＝Sn－1 示所有的奇数项之和) nmlkp均为正整数，，4．等比数列的性质(，，)
0102mnlkmnaaaap时，有□特别地，当；(1)若＝＋＋＝＋2，则□)·＝·(反之不一定成立
aaa.
·＝ S03qnSS表示所有的奇表示所有的偶数项之和，其中．)＝□((2)当为偶数时，公比( S )
数项之和0504SSSmSSS，□≠0)成等比数列．，…(等比数列“依次－(3)，□－ 项的和”，即
中项公式：□＝∈·N((2)nnnnn11
1
， 等比 02aanan≥2)．
qna，?＝1???03?S.
2*
nklnmpmnnnnnmmmmm232
n奇
n奇奇偶n＋偶1奇
nnn偶中偶2－1奇偶
kmln2
pnm偶
奇偶奇
mmmmmm223
热点考向探究
考向1 等差数列、等比数列的运算 anS，且满项和为}中，其前在等差数列例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟){aSaSaS＝( ，
nn＋＋)
＝足若24＋，则＝12D．C．40 72 C 答案 954375
A．24 B．32
aaSSaSaaaaaa10＋4，∴∵解析 ，＋＝＝63＝12，，∴＋＝8＝＝24，∴＝＝2C. 故选＝40.aaaaaa项的和为的等比中项，则数列{5是}和(2)在等差数列{的前}中，已知，＝5
554437335594
nn6243
)
(
BA．15 ．20 D．15C．25 或25
D 答案
22
aadaaaaaddaa＋－·2，即()(－解析 设公差为，∵)为＝，的等比中项，∴(＝
335
424336246
adadSdddd15.
1＋＋11n或3，∴或＝2，∴)55(0－2)＝，∴25＝0或2.＝∴5－3＝5或，即＝＝5D.
故选naaaaaaa ，若2＝，则数列{．}的前项和为(3)已知正项数列{}满足－6＝________nnnnnn22
1
答案 3－aaaaaaaaaaaa为3＝{，∴}2∵解析 －6＝，∴(－3)(＋＝)0，∵>0，∴nnnnnnnnnnnn22
1＋＋1＋1＋1＋1nS1.
－3等比数列，且首项为2，公比为，∴＝3n n项和公式，能够在已知三个元素的前提下求利用等差数列、等比数列的通项公式、前解另外两
个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意
求解最基本的量．
aSSaa＝( ＋中，) ＝9，＝21，则．在各项为正数的等比数列1{}A．144 B．121
n6523
D．C．169 148
A 答案
aa，＝9＋?? 由题意可知，解析 ?aaa，＋＝＋21??
21
321．
2?
1562
得)??
2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今
11
1
?qqaq，＝＝?9，?1＋2，＝－???? 3?qqaaa)．∴(1即＋或＋＝(舍去解
aqaq3＝＝?21?1＋，＋??????a27＝＝144.故选A.
1
4
有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )
17 B. A. 6367 D. C. 73C
答案aaaaaana＋＋4解析 设＋为第，等人的得金数，则{＝}为等差数列，由题设可知
nn93128
74aaaaaaaC.
92210569
dna∈N－定义：)在数列{＝}中，若满足，
1}中，，＝则＝为常数)， aaadaaaaa＝3，
称{已知在“等差比数列”{}为“等差比数列”． a＝( )
＝＋.＝3，故＋＝，＝1，而故选＋＝ (3．(2019·安徽太和第一中学高一调研 1 B．4×2019－A．4×2020－1 －C．4×20221 D．4×2019A
＋21＋*
33aannnnn1＋2022
nn3122020
22
22
答案 aaa??aaa是以1，∴＝2为首项，2为公差的等差数列，解析 ∵＝，∴＝1，＝3－??
＝·＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×2020－ aaa??an－1，＝2 ∴ aaaa1.∴故选A. 考向2 等差数列、等比数列的判定与证明 aaan1＋23
312
n12n＋1n2021202220222
202020212020
2
2S )．a＝(n≥2，n∈N项的和为}{a中，a＝1，其前nS，且满足2 例已知数列
n*
nnn1
1－
2S1?? 是等差数列；(1)求证：数列??
n
S??11111SSSS<＋…＋(2)证明：＋＋.
n
n321
n21＋2753．
nnnnnnn11
S1121??nSSSSSS，－＝，·－2＝证明 (1)当2≥2时，，所以数列－＝?? SSSS1－2??是以1为首项，2为公差的等差数列．
11nn－12－1)·2＝，(1)可知，＝＋( (2)由 SS1S＝. 所以 n12－1111SSSS ＋＋…＋＋ n172＋351111＋＋＝＋…＋
2－－1－
nnnn1－
n1
nn312
－＋1－＋ ＝×
nn?1＋－1??25×71×33×5?211111111????＋…＋－－
nn??33521－5127＋2111????－1<. ＝×
n??12＋22
(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方n的一次函数，但最后还得使用法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是定义才能说明其为等差数列． aaqaa≠0，，还要说明＝才能递推得出(2)证明数列{}为等比数列时，不能仅仅证明
nnn1＋1
a}为等比
数列． 数列中的各项均不为零，最后断定数列{n(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比
数列的中项公式．
a－41?? 是
aaa－
nnnnn1－2n4aaan∈N)．＝1， 4(2019·江西八所重点中学月联考)设数列{＝}满足(
*
nn11＋
a2－??abbnT. ＝的前，求数列{(2)设项和}
114－24111a＝，∴－＝－ (1)证明：∵＝－＝解
2－ aaaaaaa4222－244－－－－2－24－ a－41a＝1，
＝－为常数，又 2111??是以－1为首项，－∴为公差的等差数列． ＝－1，∴数列??
aa2－22－??
等差数列；求证：数列(1)??
nnnn2
n1＋
nnnnnnn1＋
1
n1．
n111＋????n－＝－(，－1) ＝－1(2)由(1)知，＋ ??a22－2n22a＝－，∴ ＝2 nn11＋＋n4 n12＋an4b＝＝＝ ∴ nnan???21＋－1??2－12?2 n21111????－， ＋＝1＋＝1
nn??nn1122＋－2－1??2?＋?21111111111????nnbbbTb＋…＋－＋－＋－1
－＋＋＝＋…∴＋＝＋＋＝ nn??1722－＋1335522n1????n－1 ＋＝， n??n1＋21＋2nnTbn. {＝}的前＋项和所以数列 n12＋ Sa 与考向3 数列中的关系问题naSSana )3(．项和，已知∈＝3，＝2例3 设是数列{N}的前＋a }(1)求数列{的通项公式；Tnbbna. 项和＝(2}－1)，求数列{(2)令的前SanaS ，＋23＋3，得2解 (1)当≥2时，由＝＝aSaaS ＝＝22－2两式相减，得，－aaa＝，∴＝3∴3. aanaaSa＋3＝9＝2，则时，＝3，＝＝23. ＋当3＝1 aa}是以3为首项，{3为公比的等比数列． ∴数列a.
＝＝3×3∴3bnan－1)×3(21)(1)，得. ＝(2＝－由(2)nT －1)×3＝1×3＋3×3＋5×3＋…＋(2，①∴nT，②＝1×3－1)×3＋…＋(23 ＋3×3＋5×3 ①－②，得nT －1)×3(22＝1×3＋2×3＋2×3＋…＋2×3－－n (2)＋…＋＋3＝＋2×(333－－1)×3??33－1n (2
nn2
n2
nn12－
nn312
nnnn*
nnnn1＋1nnnnnnnnn11－＋nnnnn1＋1－n＋1
nn1＋n211121
nnn1－
nnnnn32
nn＋1234nnn＋132
nnn＋132n1－2n1＋
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