第42讲 基本不等式及其应用
考试要求 1.基本不等式的证明过程(A级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)当a≥0，b≥0时，
a＋b2
≥ab.( )
(2)两个不等式a2
＋b2
≥2ab与
a＋b2
≥ab成立的条件是相同的.( )
(3)函数y＝x＋1
x的最小值是2.( )
(4)函数f(x)＝sin x＋4
sin x的最小值为2.( )
(5)x＞0且y＞0是x＋yyx≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a2
＋b2
≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式
a＋b2
≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.
(3)函数y＝x＋1
x值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)函数f(x)＝sin x＋4
sin x的最小值为－5.
(5)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________. 解析 ∵x>0，y>0，∴
x＋y2
≥xy，
2
即xy≤??x＋y?2???
＝81，
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 答案 81
3.(教材改编)若0
1
故x（3－2x）＝1
1
·2x（3－2x） 2
≤
2x＋（3－2x）32·＝，
242
3
当且仅当x＝时，上式等号成立.
4∴0 32 . 4 ?32?答案 ?0，? 4?? 11 4.(必修5P106习题16改编)已知正数x，y满足x＋2y＝1，那么＋的最小值为 xy____________. 解析 因为x>0，y>0，x＋2y＝1， 11?11?2yx所以＋＝?＋?(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2xy?xy? xy2yx22 ·＝3＋22，当且仅当x＝2y时取 xy得最小值3＋22. 答案 3＋22 5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sin x＋ 1 ≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg sin xb≥2lga·lgb；③若x∈R，则?x＋?≥4.其中正确结论的序号是________. ?x? 解析 ①因为x∈(0，π)，所以sin x∈(0，1]， 所以①成立； ②只有在lg a>0，lg b>0， 即a>1，b>1时才成立； ? 4??4??4?③?x＋?＝|x|＋??≥2? x? ?x? ?4?|x|·??＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立. x?? 答案 ①③ 知 识 梳 理 1.基本不等式ab≤ a＋b2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)适用于求含两个代数式的最值. 2.几个重要的不等式 2 (1)a＋b≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). 22 baab?a＋b?，(a，b∈R). (3)ab≤?? ?2? (4) 2 a2＋b2?a＋b?2 2 ≥? ?(a，b∈R). ?2? (以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3.算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为 a＋b2 ，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个 正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大). 4 考点一 利用基本不等式求最值(多维探究) 命题角度1 配凑法求最值 【例1－1】 (1)已知0 (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________. 44x－5 p2 x2＋2 (3)函数y＝(x>1)的最小值为________. x－1 11?3x＋（4－3x）?24 解析 (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·??＝3， 233??2 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号. 35 (2)因为x<，所以5－4x>0， 4 11 则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1. 4x－55－4x1 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立. 5－4x 3 1 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1. 4x－5 x2＋2（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3 (3)由于x>1，故y＝＝ x－1x－1 （x－1）＋2（x－1）＋3 ＝ x－1＝(x－1)＋ 3 ＋2≥23＋2. x－1 3 ，即x＝3＋1时，等号成立. x－1 2 当且仅当x－1＝ 2 答案 (1) (2)1 (3)23＋2 3命题角度2 常数代换或消元法求最值 【例1－2】 (1)(2018·盐城模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·南京模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________. 112 (3)(2017·苏州期末)已知ab＝，a，b∈(0，1)，那么＋的最小值为________. 41－a1－b21 解析 (1)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. xyy?21?4yx∴x＋2y＝(x＋2y)×?＋?＝＋＋4≥4＋4＝8. ?xy? x4yy当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立. xx(2)法一 (消元法) 9－3y由已知得x＝. 1＋y因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 9－3y所以x＋3y＝＋3y 1＋y＝ 12 ＋3(y＋1)－6≥21＋y12 ·3（y＋1）－6＝6， 1＋y12 当且仅当＝3(y＋1)， 1＋y即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 法二 ∵x＞0，y＞0， 4 11?x＋3y?2 9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·??， 33?2?当且仅当x＝3y时等号成立. 设x＋3y＝t＞0，则t＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0， 又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6. 1 (3)因为b＝，a∈(0，1)， 4a1212122a＋1所以＋＝＋＝＋＋2＝＋2. 2 1－a1－b1－a11－a4a－1－4a＋5a－1 1－4a令2a＋1＝t，则a＝ 2 t－1 t11 ，原式＝＋2＝＋2≥＋2＝429t99?9?992 －t＋－－?t＋?－2t·222?2t?22t423232－2 ＋，当且仅当t＝，即a＝∈(0，1)时取等号， 32442故原式的最小值为4＋. 3答案 (1)8 (2)6 (3)4＋ 42 3 规律方法 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. 易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致. 【训练1】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________. (2)设a＋b＝2，b>0，则 1|a| ＋取最小值时，a的值为________. 2|a|b13 ＋＝1， 5y5x解析 (1)法一 由x＋3y＝5xy及x，y均为正数可得 5
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