2018年高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程习题选修4-4

第一讲 坐标系与参数方程(选修4－4)

限时规范训练

??x＝2cos φ，

1．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为?

?y＝sin φ?

(φ为参数)，以原点O为极点，

π

3

x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2

?π?交于点D?2，?.

3??

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

π?11?(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，B?ρ2，θ0＋?，若A、B都在曲线C1上，求2＋2的值．

2?ρ1ρ2?

??x＝2cos φ，

解析：(1)∵C1的参数方程为?

?y＝sin φ，?

∴C1的普通方程为＋y＝1.

4

x2

2

1?π?由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acos θ(a为半径)，将D?2，?代入，得2＝2a×，∴a3?2?＝2，

∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2， ∴C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4. (2)曲线C1的极坐标方程为∴ρ1＝2

2

2

ρ2cos2θ4

4222

＋ρsinθ＝1，即ρ＝. 22

4sinθ＋cosθ4442

，ρ2＝＝. 2224sinθ0＋cosθ0π?π?sin θ0＋4cosθ02?2?4sin?θ0＋?＋cos?θ0＋?2?2???

24sinθ0＋cosθ04cosθ0＋sinθ05

∴2＋2＝＋＝. ρ1ρ24441

1

2222

?x＝5cos φ，2．在直角坐标系xOy中，已知点P(0，3)，曲线C的参数方程为?

?y＝15sin φ

(φ为参

3

数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝. π??2cos?θ－?6??(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；

(2)设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)点P在直线l上．理由如下：

π??直线l：2ρcos?θ－?＝3，即3ρcos θ＋ρsin θ＝3，∴直线l的直角坐标方程为3x6??＋y＝3，

∴点P在直线l上．

1x＝－t，??2

(2)直线l的参数方程为?

3

y＝3＋t??2曲线C的普通方程为＋＝1. 515

3?2?1?2?将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得3?－t?＋?3＋t?＝15，

?2??2?∴t＋2t－8＝0，设两根为t1，t2， ∴|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8.

3．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?

?x＝2＋t，???y＝kt2

(t为参数)，

x2y2

(t为参数)，

x＝－2＋m，??

直线l2的参数方程为?my＝??k迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，

M为l3与C的交点，求M的极径．

解析：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 1

消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

ky＝kx－2，??

设P(x，y)，由题设得?1

y＝x＋2，??k消去k得x－y＝4(y≠0)，

2

2

所以C的普通方程为x－y＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)，

222

?ρcosθ－sinθ＝4，联立?

?ρcos θ＋sin θ－2＝0

2

2

2

22

得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

19122

故tan θ＝－，从而cosθ＝，sinθ＝.

31010代入ρ(cosθ－sinθ)＝4得ρ＝5， 所以交点M的极径为5.

2

2

2

2

??x＝3cos θ，

4．(2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?

(θ为参

数)，直线l的参数方程为???

x＝a＋4t，

??

y＝1－t

(t为参数)．

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. 解析：(1)曲线C的普通方程为x2

2

9＋y＝1.

当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

?x＋4y－3＝0，??x＝－21

，由??2解得?

＝3，

?x?9

＋y2

＝1，

??x??

y＝0

?25或??y＝24

25.

从而C与l的交点坐标为(3,0)，??2124?－25，25???

.

(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos |3cos θ＋4sin θ－a－4|

17

. 当a≥－4时，d的最大值为a＋9

17

.

由题设得

a＋9

17

＝17，所以a＝8；

当a＜－4时，d的最大值为－a＋1

17

. 由题设得－a＋1

17＝17，

所以a＝－16.

综上，a＝8或a＝－16.

??y＝sin θ，sin θ)到l的距离为d＝θ