考点规范练37 数学归纳法
考点规范练A册第25页
基础巩固
1.在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边等于( ) A.1 答案:C
解析:在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=n(2n+1)时,当n=1时的左边=1+2=3.
2.欲用数学归纳法证明:对于足够大的正整数n,总有2>n,则验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是( ) A.1 C.10 答案:C
解析:2=1024>10.故选C.
3.命题P(n)对于n=1成立,如果n=k成立,那么对于n=k+2也成立.下述结论正确的是( ) A.P(n)对于所有的自然数n都成立 B.P(n)对于所有的正奇数n都成立 C.P(n)对于所有的正偶数n都成立 D.P(n)对于所有大于3的自然数n都成立 答案:B
解析:由于若命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立.
又已知命题P(1)成立,可推出P(3),P(5),P(7),P(9),P(11)…均成立,即P(n)对所有的正奇数n都成立.
4.用数学归纳法证明“n+(n+1)+(n+2),n∈N,能被9整除”,要利用归纳假设证当n=k+1(k∈N)时的情况,只需展开( ) A.(k+3)
3
3
3
3
10
3
B.2 C.3 D.4
n3
B.9
D.n>10,且n∈N
***B.(k+2)
3
1
C.(k+1) 答案:A
3
D.(k+1)+(k+2)
33
解析:假设n=k(k∈N)时,k+(k+1)+(k+2)能被9整除,当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+(k+3)为了能用上面的归纳假设证明,只需将(k+3)展开,让其出现k即可.故选A. 5.对于不等式√??2+?? *3 3 *333333 (1)当n=1时,√12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N,且k≥1)时,不等式成立,即√??2+?? *时,√(??+1)+(??+1)=√??2+3??+2<√(??2+3??+2)+(??+2)=√(??+2)=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法( ) A.过程全部正确 B.n=1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案:D 解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,故推理错误. 6.已知凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( ) A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 答案:C 解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与它不相邻的(n-2)个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加(n-1)条.故选C. 7.由下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,……你能得到一个怎样的一般不 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 22 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 等式?并加以证明. 解:一般结论:1+2+3+…+2??-1>2(n∈N),证明如下: (1)当n=1时,由题设条件知命题成立. 1 1 1 ??* 2 (2)假设当n=k(k∈N)时猜想成立, 即1+2+3+…+2??-1>2. 当n=k+1时,1+2+3+…+2??-1+2??+…+1 1 1 1 1 ??+1*111??2-1 > ??2 +2??+2??+1+…+111 ??+12-1 > ??2 + 12 ??+1+ 12 ??+1+…+1 ??+12 = ??????+12 + 22 ??+1= 2 . ∴当n=k+1时不等式成立. 根据(1)和(2)可知猜想对任何n∈N*都成立. 8.观察下列等式: 1=1, 2+3+4=9, 3+4+5+6+7=25, 4+5+6+7+8+9+10=49, …… (1)写出第5个等式; (2)你能作出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明你的猜想. 解:(1)第5个等式为5+6+7+…+13=81. (2)猜测第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 . 证明:①当n=1时显然成立; ②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时成立, 即k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2 . 则当n=k+1时,(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1) =k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(2k-1)+3k+3k+1 =(2k-1)2+(2k-1)+3k+(3k+1) =4k2-4k+1+8k =(2k+1)2 =[2(k+1)-1]2. 3 这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 根据①②知,等式对任何n∈N都成立. 9.设a>0,f(x)=????,令??+??*a1=1,an+1=f(an),n∈N*. (1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的结论. (1)解∵a1=1,∴a2=f(a1)=f(1)=1+??;a3=f(a2)=2+??;a4=f(a3)=3+??.猜想an=(??-1)+??(n∈N). *????????(2)证明①易知当n=1时,猜想正确. ②假设当n=k(k∈N)时,猜想正确,即ak=(??-1)+??, 则 ??·??ak+1=f(ak)=??+??????*??= ??·(??-1)+????+(??-1)+??????=(??-1)+??+1=[(??+1)-1]+??. ????故n=k+1时,猜想正确. 由①②知,对于任何n∈N,都有an=(??-1)+??. 能力提升 10.利用数学归纳法证明不等式1+2+3+…+2??-1 1 1 ??+1*??111 *B.k项 C.2项 k-1 D.2项 k2-1 ?(1+2+3+…+2??-1)=2??+2??+1+…+111111 ??+12-1 ,共增加了2项. k11.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为( ) 3 1 A. 1 (??-1)(??+1) 1 B. 1 2??(2??+1) 1 C.(2??-1)(2??+1) 答案:C D.(2??+1)(2??+2) 解析:由a1=3,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2. 解得a2=15=3×5,S3=3(2×3-1)a3,即3+15+a3=15a3. 1 1 1 1 1 4
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