2021高考数学大一轮复习考点规范练37数学归纳法理新人教A版

解得a11

3=35=5×7.

同理可得a111

4=63=7×9,故猜想an的表达式为(2??-1)(2??+1).

12.若f(n)=12

+22

+32

+…+(2n)2

,则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 . 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1)2

+(2k+2)2

解析:∵f(k)=12

+22

+…+(2k)2,

∴f(k+1)=12

+22

+…+(2k)2

+(2k+1)2

+(2k+2)2

, ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1)2

+(2k+2)2

.

13.用数学归纳法证明:2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除. 证明(1)当n=1时,21+2

·31+5×1-4=25,能被25整除,命题成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,2k+2

·3k+5k-4能被25整除. 则当n=k+1时,原式=2k+3

·3k+1

+5(k+1)-4

=6×2k+2·3k+5(k+1)-4=6[(2k+2·3k+5k-4)-5k+4]+5(k+1)-4=6(2k+2·3k+5k-4)-30k+24+5k+5-4=6(2k+2

·3k+5k-4)-25(k-1).

∵6(2k+2

·3k+5k-4)和-25(k-1)都能被25整除, ∴当n=k+1时,命题仍成立.

综上(1)(2)可知,2n+2

·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除.

高考预测

14.已知f(n)=1+1

+1

+…+1

(n∈N*),经计算得f(4)>2,f(8)>5,f72

3??2

(16)>3,f(32)>2

,则其一般结论

为 . 答案:f(2n)>??+22

(n≥2,n∈N*)

解析:因为f(22

)>4,f(23

2

)>5

4

6

5

7

n??+22

,f(2)>2

,f(2)>2

,所以当n≥2时,有f(2)>2

.

故填f(2n)>??+22

(n≥2,n∈N*).

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