22
PB与平面PDC所成的角，因为 PD＝AD＝DC＝2AB，设AD＝1，则PB＝PD＋DB＝
?1?222
1＋1＋???2?
3BE2＝，BE＝AD＝1，所以sin∠BPE＝＝. 2PB3
π2答案： 43
13．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体侧视图的面积为______ cm，此几何体的体积为______ cm.
3
2
解析：由三视图性质可知，俯视图为等边三角形，该三角形的高23，故侧视图中直角三角形的一边长为4，另一边长为23，故侧1
面积S＝×4×23＝43.作出该几何体的直观图如图所示，可知该
21?体的体积VA-BCDE＝×23×?3?
答案：43 83
14．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为________，二面角B-AC-D的余弦值为________．
＋
2
为视图几何
?＝83. ??
1
解析：由三视图还原出原几何体如图所示，其侧视图面积为
2×
221
×＝.取AC的中点E，连接BE，DE，则AC⊥BE，AC⊥DE，224
所以∠BED就是二面角B-AC-D的平面角．因为AC＝1，所以BE＝
?3?2?3?2
??＋??－
3?2??2?DE＝，所以cos∠BED＝
2?3?2
2×???2?
2
2
1＝－.
3
11答案： － 43
15．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析：在正四面体中取CD的中点为G，连接FG，EG，作FH⊥平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，所以可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共有4个．
答案：4
16．(2017·温州模拟)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°. 其中正确的结论有________(把所有正确的序号都填上)．
解析：由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE.又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB.又PB?平面PAB，∴AE⊥PB，①正确；又平面PAD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD.又AD?平面PAD，∴BC∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立，③错；在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，
∴∠PDA＝45°，∴④正确． 答案：①④
17．(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边
AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
解析：法一：依题意建立如图所示的空间直角坐标系．设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
―→
设直线a的方向向量为a＝(0,1,0)，直线b的方向向量为b＝(1,0,0)，CB以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ，θ∈[0,2π)，则B(cos θ，sin θ，0)，又A(0,0,1)，
―→―→
∴AB＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB|＝2. 设直线AB与a所成夹角为α，
―→|AB·a|22??
则cos α＝＝|sin θ|∈?0，?，
―→22??|a||AB|∴45°≤α≤90°，∴③正确，④错误． 设直线AB与b所成夹角为β， ―→|AB·b|2
则cos β＝＝|cos θ|.
―→2|b||AB|
当直线AB与a的夹角为60°，即α＝60°时， 则|sin θ|＝2cos α＝2cos 60°＝∴|cos θ|＝
2， 2
221.∴cos β＝|cos θ|＝. 222
∵0°≤β≤90°，∴β＝60°，即直线AB与b的夹角为60°. ∴②正确，①错误．
法二：由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又
AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交
底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝2，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝2，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF， ∴BF＝DE＝2， ∴△ABF为等边三角形，
∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误． 由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，
∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误． ∴正确的说法为②③. 答案：②③
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱长为3，AB⊥BC，且AB＝BC＝3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.
(1)求证：无论E在何处，总有B′C⊥C′E；
(2)当三棱锥B-EB′F的体积取得最大值时，求异面直线A′F与AC所成角的余弦值．
解：(1)证明：由题意知， 四边形BB′C′C是正方形， 连接AC′，BC′，则B′C⊥BC′. 又AB⊥BC，BB′⊥AB，BC∩BB′＝B， ∴AB⊥平面BB′C′C. ∴B′C⊥AB，
又AB∩BC′＝B，∴B′C⊥平面ABC′. ∵C′E?平面ABC′，∴B′C⊥C′E. (2)连接EF，B′E，B′F，A′E，AF，
1m＋3－m设AE＝BF＝m，则三棱锥B-EB′F的体积为V＝m(3－m)≤283
时取等号． 2
3
故当m＝，即点E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B-EB′F的体积最大，则|cos∠A′FE|
2为所求．
32359∵EF＝，AF＝A′E＝，A′F＝，
222∴|cos∠A′FE|＝
22
，即异面直线A′F与AC所成角的余弦值为. 22
2
9
＝， 当且仅当m＝8
19．(本小题满分15分)(2017·绍兴模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面BED；
(2)设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．
解：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.因为
AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF. 因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，
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