《高等数学》第九章复习要点

第九章 重积分 复习要点

§1 二重积分 一、二重积分的概念及性质

1. 了解二重积分的定义

n?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1i

2. 知道二重积分的几何意义 当f(x,y)?0时,

??f(x,y)d?D表示：以区域D为底,以曲面f(x,y)为顶的曲顶

柱体的体积

3. 二重积分的主要性质 (1) 线性性

??[?f(x,y)??g(x,y)]d?????f(x,y)d?????g(x,y)d?

DDDDD1D2(2)可加性 若D?D1?D2，则??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d? (3)

??d??? (?为区域D的面积.)

D二、掌握二重积分的计算

基本思想：化为两次单积分来计算

1. 二重积分在直角坐标系下的计算 在直角坐标系下

??f(x,y)d????f(x,y)dxdy

DD(1) 当积分区域D为x型区域，即D为：a?x?b，y1(x)?y?y2(x)时，二重积分可化为先y后x的两次积分积分

??Df(x,y)d???dx?aby2(x)y1(x)f(x,y)dy

(2) 当积分区域D为y型区域，即D为：c?y?d，x1(y)?x?x2(y)时，二重积分可化为先x后y的两次积分积分 2. 二重积分在极坐标系下的计算 在极坐标系下

??Df(x,y)d???dy?cdx2(y)x1(y)f(x,y)dx

??f(x,y)d????f(?cos?,?sin?)?d?d?

DD其中x??cos?，y??sin?

几种常见的类型为：

（1）若积分区域D为圆域：x2?y2?a2时

??Df(x,y)d??? 2? 0 d?? f(?cos?,?sin?)?d?

0 a（2）若积分区域D为圆域：x2?y2?ay(a?0)时

??Df(x,y)d??? d?? 0 ? ?sin? 0 f(?cos?,?sin?)?d?

（3）若积分区域D为圆域：x2?y2?ax(a?0)时

??Df(x,y)d??? ?2 ? ? d??2 ?cos? 0 f(?cos?,?sin?)?d?

要求：会利用直角坐标或极坐标计算二重积分,会改变二重积分的积分次序，会利用二重积分求立体的体积。

§2 三重积分

一、了解三重积分的定义与性质

1. 定义

?f(?,?,?)?v ???f(x,y,z)dv?lim???0iiiii?1n 2. 性质：线性性、可加性与二重积分类似，但

???dV?V (V为?的体积)

?二、掌握三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算

设积分区域?在xoy面的投影区域为Dxy， ?的上下边界曲面分别为

z?z2(x,y)，z?z1(x,y)，即z1(x,y)?z?z2(x,y) 则:???f(x,y,z)dv???dxdy??Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz

(2) 利用柱面坐标计算

当积分区域?在xoy面的投影区域Dxy为圆形区域时，利用极坐标来计算Dxy上的二重积分，即可。

(3) 利用球面坐标计算 在球面坐标系下

???f(x,y,z)dV????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r??2sin?drd?d?

其中x?rsin?cos?，y?rsin?sin?， z?rcos?，dV?r2sin?drd?d? 若积分区域为

??1????2??:??1(?)????2(?)?r(?,?)?r?r(?,?)?12则:???f(x,y,z)dv??d???,

?2?2(?)?1?1(?)sin?d??r2(?,?)r1(?,?)f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2dr注意：只有当积分区域?为球体、半球体，球锥体时，考虑用球面坐标计算计算

三重积分。

要求：会选择适当的坐标系计算三重积分