数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案

f11??f(x)dx01??xm(1?x)ndx0???2(sin2t)m(1?sin2t)ndsin2t

0???2sin2mtcos2ntcost?2?sintdt0?n!m!(n?m?1)!f2?[?x(1?x)dx]04m4n212m2n1212??[?2sintcostd(sint)]0??[?22sin4m?1tcos4n?1tdt]012

?(2n)!(2m)![2(n?m)?1]!(4)若f(x)?(x?1)10e?x

当x??0,1?时，f(x)?0

f?(x)?10(x?1)9e?x?(x?1)10(?e?x)?(x?1)9e?x(9?x)?0

?f(x)在[0,1]内单调递减。

f??maxf(x)?0?x?1?max?f(0),f(1)?210?ef??f(x)dx10101??(x?1)10e?xdx??(x?1)10e?x?5?f10e120?2x011??10(x?1)9e?xdx002?[?(x?1)edx]1234?7(?2)4e5。证明f?g?f?g 证明：

f?(f?g)?g?f?g?g?f?g?f?g6。对f(x),g(x)?C[a,b]，定义

1

(1)(f,g)??f?(x)g?(x)dxab(2)(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)ab

问它们是否构成内积。 解：

(1)令f(x)?C（C为常数，且C?0）

则f?(x)?0 而(f,f)??baf?(x)f?(x)dx

这与当且仅当f?0时，(f,f)?0矛盾

?不能构成C1[a,b]上的内积。

(2)若(f,g)??f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)，则

ab(g,f)??g?(x)f?(x)dx?g(a)f(a)?(f,g),???Kab(?f,g)??[?f(x)]?g?(x)dx?af(a)g(a)ab

??[?f?(x)g?(x)dx?f(a)g(a)]ab??(f,g)?h?C1[a,b],则

(f?g,h)??[f(x)?g(x)]?h?(x)dx?[f(a)g(a)]h(a)ab??f?(x)h?(x)dx?f(a)h(a)??f?(x)h?(x)dx?g(a)h(a)

aabb?(f,h)?(h,g)(f,f)??[f?(x)]2dx?f2(a)?0

ab若(f,f)?0，则

?[f?(x)]dx?0,且fab22(a)?0

?f?(x)?0,f(a)?0 ?f(x)?0

即当且仅当f?0时，(f,f)?0. 故可以构成C[a,b]上的内积。

*7。令Tn*(x)?Tn(2x?1),x?[0,1]，试证Tn(x)是在[0,1]上带权?(x)?1??1x?x2的正交

多项式，并求T0*(x),T1*(x),T2*(x),T3*(x)。 解：

若Tn(x)?Tn(2x?1),x?[0,1]，则

*?10*Tn*(x)Tm(x)P(x)dx1??Tn(2x?1)Tm(2x?1)01x?x2

dxt?1，故 2令t?(2x?1)，则t?[?1,1]，且x?

?10*Tn*(x)Tm(x)?(x)dx1??Tn(t)Tm(t)?11t?1t?12?()2211??Tn(t)Tm(t)dt2?11?td(t?1) 2*又?切比雪夫多项式Tk(x)在区间[0,1]上带权?(x)???11?x2正交，且

?0,n?m??1x?T(x)T(x)d??,n?m?0 ??1nm21?t?2???,n?m?0??Tn*(x)?是在[0,1]上带权?(x)?又?T0(x)?1,x?[?1,1]

1x?x2的正交多项式。

?T0*(x)?T0(2x?1)?1,x?[0,1]?T1(x)?x,x?[?1,1]?T1*(x)?T1(2x?1)?2x?1,x?[0,1]

?T2(x)?2x2?1,x?[?1,1]?T2*(x)?T2(2x?1)?2(2x?1)?1?8x2?8x?1,x?[0,1]2

?T3(x)?4x3?3x,x?[?1,1]?T(x)?T3(2x?1)?4(2x?1)3?3(2x?1)*3

?32x?48x?18x?1,x?[0,1]232

8。对权函数?(x)?1?x，区间[?1,1]，试求首项系数为1的正交多项式?n(x),n?0,1,2,3. 解：

若?(x)?1?x，则区间[?1,1]上内积为

2(f,g)??f(x)g(x)?(x)dx

?11