反比例函数中蕴含的数学思想

反比例函数中蕴含的数学思想

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题.通常混称为“数学思想方法”.常见的数学四大思想为：转化与化归、分类讨论、数形结合、函数与方程.为方便同学们的学习与运用，现举例说明.

一、转化与化归思想

例1（2014年黑龙江省大庆市）如图，在平面直角坐标系y xOy，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A(－2，0)，与y

B kD 轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限的图象交于点B(m，C xn)，连结OB，若S△AOB＝6，S△BOC＝2.

A （1）求一次函数的表达式. O E （2）求反比例函数的表达式.

分析 要求两个函数的解析式，可将问题转化为求点B的

坐标，此时由△AOB、△BOC的面积可得到△AOC，再由点A的坐标可得到OC的长度，同理可得到△BOC中OC边上的高、△AOB中AO边上的高，即点B的横坐标和纵坐标，得解.

解 如图，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、D.∵S△AOB＝6，S△BOC＝2，∴S△AOC＝4.

又∵点A(－2，0)，∴OA＝2，∴OC＝4， ∵S△BOC＝2，∴BD＝1，

∵AO＝2，S△AOB ＝6，∴BE＝6，点B的坐标为(1，6).

x

?-2a?b?0,?a?2,（1）∵一次函数y＝ax+b的图象过点A、B，∴?解得?即

?a?b?6,?b?4,一次函数的表达式为y＝2x+4.

kk（2）∵反比例函数y＝的图象过点B，∴6＝，即k＝6，∴反比例函数

x16的表达式为y＝.

x说明 求函数表达式，一般先根据题意，求出图象上相关点的坐标，用待定系数法列方程求解，对于一次函数，需要确定图象上两点的坐标，而反比例函数只要确定图象上一点的坐标即可.

二、分类讨论思想

例2（2014年四川省德阳市）如图，已知矩形OABC

y k的一个顶点B的坐标为(4，2)，反比例函数y＝（k＞0）

xD B C 的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D. E （1）求反比例函数的解析式和点D的坐标.

（2）若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面O F x

A 积分成3∶5的两部分，求此直线的解析式.

分析（1）先求出点E的坐标，然后可以求出反比例

函数的解析式，而点D的纵坐标和点B相同，代入反比例函数解析式可以求出横坐标.（2）分情况求解，点D的坐标已知，可以在OA、OC、AB边上分别作

出把矩形OABC的面积分成3∶5的两部分的点的草图，然后求出这个点的坐标，最后利用待定系数法求一次函数的解析式.

解（1）∵点B的坐标为(4，2)，矩形的对称中心为点E，∴点E的坐标为(2，1).

k又点E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝xy＝2×1＝2，∴反比例函数的

x2解析式为y＝.

x又∵CB∥OA，点B的坐标为(4，2)，∴点D的纵坐标为2，将点D的纵坐

2标代入反比例函数解析式可得2＝，∴点D的坐标为(1，2).

x（2）分情况：①当直线y＝mx+n与矩形的另一个交点在OC上时，直线y

1＝mx+n左侧最大面积为：S△OCD＝OC×CD＝1，而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

23∴S△OCD＜S矩形OABC，∴不符合要求，因此直线y＝mx+n与矩形的另一个交点

8不可能在OC上.②当直线y＝mx+n与矩形的另一个交点在OA上时，设在OA边上有点F，直线y＝mx+n过点F且将矩形OABC的面积分成3∶5的两部分，如

3图，设点F的坐标为(x，0)，根据题意，得再分两种情形：当S梯形COFD＝S矩形

813OABC时，即(1+x)×2＝×4×2，解得x＝2，∴F(2，0)，∵点D的坐标为(1，

28ììm+n=2,m=-2,????2)，点F的坐标为(2，0)，∴í∴í∴y＝－2x+4.当S梯形COFD

????2m+n=0,??n=4,515＝S矩形OABC时，即(1+x)×2＝×4×2，解得x＝4，∴F(4，0)，此时，点F828与点A重合.∵点D的坐标为(1，2)，点F的坐标为(4，0)，

ì2??m=-,?ìm+n=2,??3∴y＝－2x+8.③当直线y＝mx+n与矩形的另一个

∴?∴íí??334m+n=0,8???n=,??3??交点在AB上时，直线y＝mx+n右侧最大面积为：S△ABD＝

11AB×BD＝×2×3223＝3，而S矩形OABC＝OA×OC＝8，∴S△ABD＝S矩形OABC，∴符合要求，通过上一步

828可得此时直线y＝mx+n的解析式为y＝－x+.综上所述，直线y＝mx+n的解

3328析式为y＝－2x+4或y＝－x+.

33说明 分情况讨论是我们经常遇到的问题，此类题目丢分较多，往往会出现不懂什么时候分类和分类遗漏造成的错误，那么通常需要分类讨论的问题有哪些呢，总结如下：（1）在探讨等腰或直角三角形存在时，因为不能确定直角或是不

能确定腰或底则需要分类讨论.（2）讨论点的位置时，一定要看清点所在的范围，如范围不确定则需要分类讨论，如本例.（3）三角形的全等或相似问题，如对应边或角不能确定则需要分类讨论.（4）代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍.（5）函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，则需要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的的交点.（6）由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后则应该进行分段讨论.另外，在本题中，容易出错的地方是第（2）小题求解析式时，一是想当然的认为要求的点一定在边OA上，忽略点在其他两个边的情况；二是当点在OA上时，误认为一定是左边的图形与右边的图形面积比是3∶5，导致忽略左右比是5∶3的情况出现错误.

三、数形结合思想

例3（2014年内蒙古呼伦贝尔市）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函

m数y＝kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数y＝（x

xy ＞0）的图象相交于点B(2，1).

（1）求m的值和一次函数y＝kx+b的解析式.

（2）结合所给图象直接写出：当x＞0时，不等式kx+bB 1 mA ＞的解集. O x x1 2

m分析（1）将点B(2，1)代入y＝，可求得m的值，已知A、B两点，用待

xm定系数法可求一次函数表达式.（2）由图象得，当x＞2时，kx+b＞成立.

xmm解（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B(2，1)，∴1＝，∴

x2m＝2.

?0?k?b,?k?1,又∵一次函数y＝kx+b的图象经过A(1，0)，B(2，1)，∴?解得?

?1?2k?b,?b??1,∴一次函数的解析式为y＝x－1.

（2）由图象看出，当x＞2时，一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y＝（x＞0）上方，即当x＞2时，kx+b＞2.

m的解集时一定要明确图象上点B的横坐标的意义，进x而发挥数形结合的作用，从图上直接获取答案.

四、函数与方程思想

例4（2014年云南省）将邮箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S（单位：

k千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S＝（k是常

a数，k≠0）.已知某轿车邮箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度

mxmm成立，∴不等式kx+b＞的解集为x＞xx说明 求解kx+b＞

行驶，可行驶700千米.

（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）.

（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？

k分析（1）由题中的关系式S＝可知要求S与a的函数解析式，只要求出k

a即可.（2）利用（1）的中解析式求解.

kk解（1）把a＝0.1，S＝700代入S＝，得700＝，解得k＝70，

a0.170∴该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式为了S＝.

a70（2）把a＝0.08代入S＝，得S＝875(千米) ，∴当平均耗油量为0.08

a升/千米时，该轿车可以行驶875千米.

说明 要利用反比例函数的关系式来解决实际问题，就得先求出反比例函数关系中的k，要知道这个k就得有一个相关的条件.