.计算?e1e2?lnxe2?lnx15dx 解： ?dx??(2?lnx)d(2?lnx)?(2?lnx)2?
11xx221e5 定积分计算题，分部积分法 11a?11xa?11a?1aa?1类型1：?xlnxdx?lnxdx?xlnx?xdx?lnx?x?c ??2a?1a?1a?1a?1(a?1)a计算?xlnxdx 解： a?1， ?xlnxdx?1e112122lnxdx?xlnx?x?c 2?24计算?e1lnxlnx111 解： ， dxdx??lnxd()??lnx??c a??222??xxxxx计算?1elnxlnx1dx 解：a??，?dx?2?lnxdx?2xlnx?4x?c
2xx?elnxx1dx=2?lnxdx?(2xlnx?4x)??2e?4
11ee0807 ?e133332e2242e224 2xlnxdx??lnxd x?(xlnx?x)?e?19313990707 ?x2lnxdx?1e1313e2311e3lnxdx?(xlnx?x)?e? ?1319399 类型2 ?xeaxdx?11ax1axaxxd(e)?xe?2e?c ?aaa（0801考题） ?xedx?x01?xde01x?(xe?e)xx10?1
类型3： ?xsinaxdx??xcosax?1a111cosaxdx??xcosax?sinax?c 2?aaa 四、应用题（1题，16分）
类型1： 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大
解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2?r2?l2
l 圆柱体的体积公式为 V??r2h?π(l2?h2)h
求导并令 V??π(l2?3h2)?0
得h?36l，并由此解出r?l． 33即当底半径r?63l，高h?l时，圆柱体的体积最大． 33类型2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。
2-1（0801考题） 某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省
解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积V??.r2.h,h?V?.r2
表面积为S?2πr2?2πrh?2πr2?2Vr
S??4πr?V4V2V?33， 由得，此时。 r?h?2r?S?022ππr由实际问题可知，当底半径r?3V与高h?2r 时可使用料最省。 2π一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小 解： 本题的解法和结果与2-1完全相同。
生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省
解：设容器的底半径为r，高为h，则无盖圆柱形容器表面积为
S?πr2?2πrh?πr2?V2V2V，令 S??2πr?2?0， 得 r?3,h?r， rπr由实际问题可知，当底半径r?3V与高h?r 时可使用料最省。 π2-2欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省（0707考题）
解： 设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知x2h?V?32，h?V， x2表面积 y?x2?4xh?x2?4V， x令y??2x?4VV3，得， 此时=2 x?2V?64?0h?x?4,x2x2由实际问题可知，x?4是函数的极小值点，所以当x?4，h?2时用料最省。
欲做一个底为正方形，容积为立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省 解： 本题的解法与2-2同，只需把V= 代入即可。
类型3 求求曲线y2?kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短． 曲线y2?kx上的点到点A(a,0)的距离平方为L?(x?a)2?y2?(x?a)2?kx
L??2(x?a)?k?0， 2x?2a?k
3-1在抛物线y2?4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短．
解：设所求点P（x，y），则满足 y2?4x，点P 到点A 的距离之平方为
令L??2(x?3)?4?0，解得x?1是唯一驻点，易知x?1是函数的极小值点，
当x?1时，y?2或y??2，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，－
2）
3-2求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短． 解：曲线y2?2x上的点到点A（2，0） 的距离之平方为
L?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x
令L??2(x?2)?2?0，得x?1， 由此y2?2x?2， y??2
即曲线y2?2x上的点（1，2）和（1，?2）到点A（2，0）的距离最短。
08074 求曲线y?x2上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。
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