第一章主要内容
1 定义： 一、极限
2 运算法则：（1）四则运算（2）复合函数 3 性质：（1）有界性 （2）唯一性 （3）保号性 （4）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （5）limf(x)=A?f(x)=A+α(x)， 其中limα(x)=0。 4 无穷小量的阶： 机动
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5 求极限的方法：
(1) 定义，运算法则及性质; (2) 夹逼定理；
(3) 单调有界原理（求数列极限）； (4) 单侧极限与极限的关系； (5) 两个重要极限：
sinx
lim=1x→0x
1n
lim(1+)=en→∞n
lim(1+x)=e
x→0
1
x
1x
lim(1+)=ex→∞x
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(6) 利用等价无穷小代换； (7) 罗必达法则（注意应用条件）; （8） 利用泰勒公式。 常用的等价无穷小量： 当x→0时 , sinx~x， tanx~x， ln(1+x)~x arcsinx~x， arctanx~x， e?1~x, 12x
1?cosx~x, a?1~xlnx 2α(1+x)?1~αx , x
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二、连续性
x→x0
1 定义：limf(x)=f(x0)；limΔy=0。 Δx→0
2 性质： （1）初等函数在其定义域内是连续的。 （2）连续等价与左右连续且相等。 3 间断点的类型： （1）第一类间断点； （2）第二类间断点。 4 闭区间上连续函数的性质： （1） 零点存在定理； （2） 介值定理； （3） 最大值，最小值定理； 机动
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第二章主要内容
1、导数的定义
Δyf(x0+Δx)?f(x0)
y′x=x0=lim.=lim
Δx→0ΔxΔx→0Δx
f(x)?f(x0)f(x0+Δx)?f(x0)
f?′(x0)=lim?=lim?;
x→x0Δx→0x?x0Δx
f(x)?f(x0)f(x0+Δx)?f(x0)
f+′(x0)=lim+=lim+;
x→x0Δx→0x?x0Δx
函数f(x)在点x0处可导?左导数f?′(x0)和右 导数f+′(x0)都存在且相等. 机动
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2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）
(C)′=0(sinx)′=cosx(tanx)′=sec2x(secx)′=secxtgx(ax)′=axlna(logx)′=1axlna(arcsinx)′=11?x2(arctanx)′=11+x2(xμ)′=μxμ?1(cosx)′=?sinx(cotx)′=?csc2x(cscx)′=?cscxctgx(ex)′=ex(lnx)′=1x(arccosx)′=?11?x2(arccotx)′=?11+x2机动目录上页下页返回结束
3、求导法则
(1) 函数的和、差、积、商的求导法则
设 u=u(x),v=v(x) 可导，则 （1）(u±v)′=u′±v′, （2）(cu)′=cu′ (c是常数), ′v?uv′uu（3）(uv)′=u′v+uv′, （4）()′=. (v≠0)2vv(2) 反函数的求导法则如果函数x=?(y)的反函数为y=f(x),则有
1
f′(x)=.
?′(y)
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(3) 复合函数的求导法则
设y=f(u),而u=?(x)则复合函数y=f[?(x)]的dydydu=?导数为或y′(x)=f′(u)??′(x).dxdudx(4) 对数求导法
先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.适用范围:
多个函数相乘和幂指函数u(x)
v(x)
的情形.
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(5) 隐函数求导法则
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6) 参变量函数的求导法则
?x=?(t)
若参数方程?确定y与x间的函数关系,
?y=ψ(t)dy
2
′dydtψ(t)dyψ′′(t)?′(t)?ψ′(t)?′′(t)
==;.=23dxdx?′(t)dx?′(t)
dt
注意：1、熟记求导公式； 2、复合函数求导要熟练掌握； 3、求分段函数在分段点处得到是要用定义。机动
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4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)
f′(x+Δx)?f′(x)二阶导数f′′(x)=lim,Δx→0Δx一般地,函数f(x)的n?1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作f(n)(x),y(n)莱布尼兹公式.
(n)
(n)
(n?1)
dydf(x),n或.ndxdx
nnn(n?1)(n?2)
v′+uv′′(u?v)=uv+nu
2!
n(n?1)\(n?k+1)(n?k)(k)(n)+uv+\+uv
k!
=∑Cu
kn
k=0n
(n?k)(k)
v
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常用的高阶导数公式
(1)(a)x(n)=a?lna(a>0)(n)nxn=ksin(kx+n?)2π(n)n
(3)(coskx)=kcos(kx+n?)
2
(2)(sinkx)π(e)
x(n)
=e
x
=n!
1(n)n?1(n?1)!(n)nn!(lnx)=(?1)(5)()=(?1)n+1n
xxx
1(n)n!1(n)n!n
=())=(?1)(n+1n+1
1?x(1?x)x±1(x±1)
(x)
(4)(x)
α(n)
=α(α?1)\(α?n+1)x
α?n
n(n)
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5、微分的定义
定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0及x0+Δx在这区间内,如果Δy=f(x0+Δx)?f(x0)=A?Δx+o(Δx)成立(其中A是与Δx无关的常数),则称函数y=f(x)在点x0可微,并且称A?Δx为函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dyx=x0或df(x0),即dyx=x0=A?Δx.微分dy叫做函数增量Δy的线性主部.(微分的实质)
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6、导数与微分的关系
定理
函数f(x)在点x0可微的充要条件是函数f(x)在点x0处可导,且A=f′(x0).
7、微分的求法
dy=f′(x)dx
求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分.
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8、微分的基本法则
d(u±v)=du±dvd(uv)=vdu+udv
函数和、差、积、商的微分法则
d(Cu)=Cduuvdu?udvd()=2
vv
微分形式的不变性
无论x是自变量还是中间变量,函数y=f(x)的微分形式总是
dy=f′(x)dx
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基本初等函数的微分公式
d(C)=0
d(sinx)=cosxdx
2
d(x)=μxdxd(cosx)=?sinxdx
2
μμ?1
d(tanx)=secxdxd(cotx)=?cscxdx
d(secx)=secxtanxdxd(cscx)=?cscxcotxdxd(a)=alnadx1
d(logax)=dx
xlna
1
d(arcsinx)=dx2
1?x1
d(arctanx)=2dx1+x
x
x
d(e)=edx
1
d(lnx)=dx
x
1
d(arccosx)=?dx2
1?x1
d(arccotx)=?2dx1+x
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xx
9、导数和微分的求法
1. 正确使用导数及微分公式和法则2. 熟练掌握求导方法和技巧(1) 求分段函数的导数
注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等(2) 隐函数求导法(3) 参数方程求导法(5) 高阶导数的求法
对数微分法
转化
极坐标方程求导
(4) 复合函数求导法(可利用微分形式不变性)
逐次求导归纳;
间接求导法;利用莱布尼兹公式.
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第三章内容小结：
一、微分中值定理： 罗尔(Rolle)中值定理： 若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 至少存在一点ξ(a<ξ b?a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柯西(Cauchy)中值定理： 设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且g′(x)在(a,b)内每一点处均不为零，则在(a,b)内至少f(b)?f(a)f′(ξ)有一点ξ(a<ξ 三、泰勒公式： f′′(x0)2(x?x0)f(x)=f(x0)+f′(x0)(x?x0)+其中或 2!+\+f(n)(x0)n!(x?xn0)+Rn(x)(n+1)R(x)=f(ξ)(n+1)! (x?xn+1 n0)(ξ在x0与x之间) Rn(x)=o((x?x0)n ) 机动目录上页下页返回结束 麦克劳林(Maclaurin)公式 f′′(0)2f(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x+\+x2!n!(n+1)f(θx)n+1+x(0<θ<1)(n+1)!——带拉格朗日余项的麦克劳林公式 f′′(0)2f(0)nf(x)=f(0)+f′(0)x+x+\+xn!2!n+o(x)(x→0)(n)(n)——带佩亚诺余项的麦克劳林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用函数的麦克劳林公式 x当x→0时 121nne=1+x+x+\+x+o(x) 2!n!2n?1x3x5xn?12nx=x?+?+?+sin\(1)o(x) 3!5!(2n?1)!2462nxxxnxcosx=1?+?+\+(?1)+o(x2n+1) 2!4!6!(2n)!xxn?1xnln(1+x)=x?+?\+(?1)+o(x) 23n23n12nn=1+x+x+\+x+o(x) 1?xm(m?1)2m(1+x)=1+mx+x+\2! m(m?1)\(m?n+1)nn+x+o(x)n!机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、导数的应用 1 函数单调性的判定法： 若f′(x)>0，则y=f(x)单调增加；若f′(x)<0，则y=f(x)单调减少. 2 函数极值的判定法定理1 (第一充分条件)： (1) 若x∈(x0?δ,x0)时，f′(x)>0；x∈(x0,x0+δ)时, f′(x)<0，则f(x)在x0处取得极大值. (2) 若x∈(x0?δ,x0)时，f′(x)<0；x∈(x0,x0+δ)时，f′(x)>0；则f(x)在x0处取得极小值. (3) 若当x∈(x0?δ,x0)及x∈(x0,x0+δ)时, f′(x)的符号相同，则f(x)在x0处无极值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2(第二充分条件) 设f(x)在x0处具有二阶导数,且f′(x0)=0,f′′(x0)≠0,则 (1) 当f′′(x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值；(2) 当f′′(x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值。3 求极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求驻点，即方程f′(x)=0的根;及不可导点。(3)检查f′(x)在驻点及不可导点左右的正负号 或f′′(x)在该点的符号,判断极值点;(4)求极值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 最大值、最小值问题求最值的步骤:（1）求驻点和不可导点; （2）求区间端点及驻点和不可导点的函数值，比较 大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值。实际问题求最值:（1）建立目标函数; （2）求最值; 注意:若目标函数只有唯一驻点，则该点的数值即为所求的最大值（或最小值）．机动目录上页下页返回结束 5 曲线的凹凸与拐点 （1）凹凸性的定义、拐点的定义：（2）凹凸性的判别： 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,若在(a,b)内 (1)f′′(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)f′′(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的; （3）求拐点的步骤： （1）求出f′′(x)=0的所有零点； ；（2）求出f′′(x)不存在的点（但f(x)在此点有定义）（3）考查f(x)在这些点左右的凹凸性。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 .曲率半径ρ=,6 曲率：曲率k=3 k22 (1+y′) 7 渐近线： (1)水平渐近线： 如果 x→+∞ y′′ limf(x)=b或limf(x)=b(b为常数) x→?∞ 那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线. （2）斜渐近线 f(x)lim=a,lim[f(x)?ax]=b. x→∞x→∞x 那么y=ax+b就是曲线y=f(x)的一条斜渐近线. 机动目录上页下页返回结束 8、函数作图的步骤 第一步确定函数y=f(x)的定义域，间断点。对函数进行奇偶性、周期性等性态的讨论； 第二步求出f′(x)=0的点和f′(x)不存在的点，即求出f(x) 的所有可能的极值点； 第三步求出f′′(x)=0的点和f′′(x)不存在的点，即求出f(x)的所有可能的拐点； 第四步第五步第六步 列表，判断单调区间，凹凸区间，极值点，拐点等；求曲线的渐近线； 必要时，定出曲线的某些特殊点，如截距等； 第七步作图。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 9 证明不等式常用的方法： 1． 利用单调性、极值、最值； 2． 利用拉格朗日中值定理； 3． 利用泰勒公式（带拉格朗日余项）；4． 利用函数凹凸性的定义。 机动目录上页下页返回结束 第四章内容小结 1、不定积分的概念：∫f(x)dx=F(x)+C;2、不定积分的计算： 第一换元法（凑微分法）；第二换元法（变量替换法）；分部积分法。 机动目录上页下页返回结束 常用的凑微分公式： 11nn+1dx=d(ax+b);xdx=dx;an+11111dx=d(lnx);dx=2dx;2dx=?d()xxxxcosxdx=dsinx;sinxdx=?dcosx secxdx=dtanx;cscxdx=?dcotx1 2dx=darctanx;1+x 1 dx=darcsinx2 1?xedx=de x x 2 2 1?1? ?1+2?dx=d(x?); xx?? 基本积分表 (1)(2)kdx=kx+C∫xdx=∫μ(k是常数)+C(μ≠?1);xμ+1μ+1特别地 dx1 =?+C,2∫xx ∫ dx =2x+C,xdx(3)∫=ln|x|+C; x (4)∫cosxdx=sinx+C;(5) ?cosx+C;sinxdx=∫ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (6)(7)(8)(9)(10)(12) ∫11+x2dx=arctanx+C;∫11?x2dx=arcsinx+C;∫dxcos2 =∫sec2 xdx=tanx+C;∫dxxsinx∫csc2 2=xdx=?cotx+C; x ∫exdx=ex+C;(11)∫ax dx=alna +C; ∫ shxdx=chx+C;(13)∫ chxdx=shx+C;机动目录上页下页返回结束 (14) (15) (16) ∫secxdx=ln|secx+tanx|+C; ∫ cscxdx=ln|cscx?cotx|+C;∫ 1x2±a 2 dx=ln|x+x2±a2 |+C.机动目录上页下页返回结束 第五章内容小结 1、定积分的概念： b n ∫a f(x)dx=lim∑f(ξi)Δxi,λ=max{Δxi},ξi∈[xi?1,xi] λ→0 i=1 1≤i≤n 2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积。 3、性质：线性性质；区间可加性；不等式的性质； 估值定理；积分中值定理 机动目录上页下页返回结束 4、Newton-Leibniz 公式： F(x)是f(x)的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(x)=F(b)?F(a) ba 5、变上限积分： x Φ(x)=∫f(t)dt, a Φ′(x)=f(x) 推广：若Φ(x)=∫ g(x) h(x) f(t)dt,则 Φ′(x)=f(g(x))g′(x)?f(h(x))h′(x). 6、定积分计算法：换元法与分部积分法；注意：被积函数带绝对值或被积函数是分段函数时 定积分的计算积分。一些特殊积分： ∫?a a ??2∫0f(x)dx, f(x)dx=? ??0, nT a f(x)偶函数 ； f(x)奇函数 T f(x+T)=f(x)?∫ 0 f(x)dx=n∫f(x)dx; 0 7、定积分应用 (1) 平面图形的面积 (2) 体积：①(3) 平面曲线的弧长(4) 变力所作的功(5) 水的侧压力(6) 引力 旋转体的体积(切片法和柱壳法)； ②已知平行截面的面积求立体的体积。 机动目录上页下页返回结束 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积直角坐标情形 yy=f(x)yy=f2(x)AoAy=f1(x)ab bxob abxA=∫af(x)dx A=∫a[f2(x)?f1(x)]dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 参数方程所表示的函数 ?x=?(t) 如果曲边梯形的曲边为参数方程? ?y=ψ(t) 曲边梯形的面积A=∫ψ(t)?′(t)dtt 1 t2 （其中t1和t2对应曲线起点与终点的参数值） 在[t1,t2]（或[t2,t1]）上x=?(t)具有连续导数， y=ψ(t)连续. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标情形 βr=?(θ) dθαoxA=12∫βα[?(θ)]2 dθβr=?2(θ) r=?1(θ)αoxA=1β22 2∫α[?2(θ)??1(θ)]dθ机动目录上页下页返回结束 (2) 旋转体的体积 yoxx+dxxydx=?(y)cox=∫b aπ[f(x)]2 dx V=∫d 2 cπ[?(y)]dy 机动目录上页下页返回结束 V平行截面面积为已知的立体的体积 A(x)o axx+dxbxV= ∫aA(x)dx b 机动目录上页下页返回结束 求旋转体体积—柱壳法 曲边梯形y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕y 轴旋转 y V=2π∫xf(x)dx a b y =f (x)0 adxx机动 目录 bx 上页下页返回结束 (3) 平面曲线的弧长A．曲线弧为y=f(x)yB．曲线弧为C．曲线弧为弧长s=∫ba1+y′2dx}dy?oaxx+dxbx?x=?(t) ?y=ψ(t) (α≤t≤β) 其中?(t),ψ(t)在[α,β]上具有连续导数 弧长s=∫βα?′2 (t)+ψ′2 (t)dtr=r(θ) (α≤θ≤β) 弧长s=∫βαr2 (θ)+r′2 (θ)dθ机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章内容小结 1、一阶微分方程的解法(1) 可分离变量的微分方程 形如 g(y)dy=f(x)dx 解法 g(y)dy=f(x)dx∫∫ ydy 形如=f() xdx 分离变量法 (2) 齐次方程解法 y 作变量代换u= x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 可化为齐次的方程 ax+by+cabdy形如=f(),其中≠a1x+b1y+c1a1b1dx当c=c1=0时,为齐次方程．否则为非齐次方程． 解法 令 x=X?x0,y=Y?y0， 化为齐次方程． ?ax+by+c=0 其中x0,y0是方程?的根。 ?a1x+b1y+c1=0dy (4) 形如 =f(ax+by+c) a,b,c是常数。 dx u=ax+by+c解法令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 一阶线性微分方程 dy形如+P(x)y=Q(x)dx当Q(x)≡0,上方程称为齐次的． 当Q(x)≡0, 上方程称为非齐次的. 解法齐次方程的通解为非齐次微分方程的通解为 ∫y=Ce ?P(x)dx . P(x)dx?∫P(x)dx∫y=[∫Q(x)edx+C]e 机动目录上页下页返回结束 (6) 伯努利(Bernoulli)方程 dyα形如+P(x)y=Q(x)ydx当α=0,1时，方程为线性微分方程.当α≠0,1时，方程为非线性微分方程. 解法 y 1?α令z=y 1?α, =z ?(1?α)P(x)dx (1?α)P(x)dx∫(∫Q(x)(1?α)edx+C). ∫=e 机动目录上页下页返回结束 2、可降阶的高阶微分方程的解法 (1)2) (3) y (n) =f(x)型 解法接连积分n次，得通解． y′′=f(x,y′)型 特点不显含未知函数y. 解法 令y′=P(x), y′′=P′, 代入原方程, 得 P′=f(x,P(x)). y′′=f(y,y′)型 特点不显含自变量x. 解法令y′=P(y),y′′=Pdp dy ,代入原方程, 得 Pdp dy =f(y,P).机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3、二阶常系数齐次线性方程解法 形如y (n) +P1y (n?1) +\+Pn?1y′+Pny=f(x) n 阶常系数线性微分方程 y′′+py′+qy=0 二阶常系数齐次线性方程 y′′+py′+qy=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法. 机动目录上页下页返回结束
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