绍兴市柯桥区高中数学学科导学案
《必修4》第二章 平面向量
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
【学习目标】
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量。
2.在应用活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。
3.通过本节内容的学习,让学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力。 【课前预习】
1. 复习：向量的定义以及有关概念。 2.预习教材P80—P84 【课堂导学】 一、概念构建
思考1、上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并接触了这些概念的辨析判断.那么,向量是否和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算呢？
思考2、 2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么?怎样列出数学式子？
思考3、猜想向量加法的法则是什么?与数的运算法则有什么不同?
活动：向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.某对象从A点经B点到C点,两次位移AB、BC的结果,与A点直接到C点的位移AC结果相同。力也可以合成,老师引导,让学生共同探究如下的问：
图1 图2
图2（1）表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO；图2(2)表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度.
改变力F1与F2的大小和方向,重复以上的实验,你能发现F与F1、F2之间的关系吗?
力F对橡皮条产生的效果与力F1与F2共同作用产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1与F2的合力. 合力F与力F1、F2有怎样的关系呢?由图2(3)发现,力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于平行四边形对角线的长。
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数的加法启发我们,从运算的角度看,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的合成看作向量的加法。
讨论结果：①向量加法的定义：如图3,已知非零向量a、b，在平面内任取一点A,作
AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a?b=AB+BC=AC.
求两个向量和的运算,叫做向量的加法。 ②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量. 2°向量加法的平行四边形法则
图4
如图4,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
思考4、对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？
思考5、两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
思考6、思考a?b，a，b存在着怎样的关系？
思考7、数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢?
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意
a,b?R,有a?b?b?a，(a?b)?c?a?(b?c)。任意向量a,b的加法是否也满足交
换律和结合律?引导学生画图进行探索。
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a?0?0?a?a。
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段。
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③当a,b不共线时,a?b?a?b (即三角形两边之和大于第三边)； 当a,b共线且方向相同时, a?b?a?b；
当a,b共线且方向相反时, a?b?a?b (或b?a)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时, a?b?a?b；当向量a的长度小于向量b的长度时, a?b?b?a。 一般地,我们有a?b?a?b。
④如图5,作AB=a,AD=b,以AB、AD为邻边作
ABCD,则BC=b,DC=a。
因为AC=AB+AD=a?b，AC=AD+DC=b?a，所以a?b?b?a。 如图6,因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a?b)?c，
AD==AB+BD=AB+(BC+CD)=a?(b?c)，所以(a?b)?c?a?(b?c)。
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
图5 图6
二、巩固与反馈
例1：如图7,已知向量a、b,求作向量a?b
图7 图8
变式训练
化简:(1)BC+AB;(2)DB+CD+BC;(3)AB+DF+CD+BC+FA.
例2：如图8,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量: (1)OA+OC；(2)BC+FE；(3)OA+FE.
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例3: 在长江的某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度是25 km/h,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定？
三、随堂训练
1．必修4 P84 练习1-4
2. 课堂小结 （1）先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用. （2）教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂. 【课后巩固】
1.化简：MB?BA?AC?____________ OA?OC?BO?CO?_______________ 2.若C是线段AB的中点，则AC?BC=（ ） A．AB B．BA C．0 D．0
3.已知?ABC中，D是BC的中点，则3AB?2BC?CA=（ ） A．AD B．3AB C．0 D．2AD
4.已知正方形ABCD的边长为1，AB?a，AC?c，BC?b，则a?b?c为（ ） A．0 B．3 C．2 D．22
5.在矩形ABCD，AB?4，BC?2，则向量AB?AD?AC的长度等于（ ） A．25 B．45 C．12 D．6 6.已知AB?8，AC?5，则BC的取值范围？
7.如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
答案：
1.MC，BA 2.C 3.D 4.D 5.B 6.[3,13] 7.1503N,150N
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