高考复习之参数方程 一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构 1.直线的参数方程
(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
?x?x0?tcosa (t为参数) ?y?y?tsina0? (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=
b的直线的参数方程是 a?x?x0?at(t不参数) ② ??y?y0?bt在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a+b=1,②即为标准式，此
22
时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a+b≠1，则动点P到定点P0的距离是
2
2
a2?b2｜t｜.
直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是
?x?x0?tcosa ? （t为参数）
y?y?tsina0?若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则 (1)P1、P2两点的坐标分别是 (x0+t1cosα,y0+t1sinα) (x0+t2cosα,y0+t2sinα)； (2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;
(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则 t=
t1?t2 2t1?t2｜ 2中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则 t1+t2=0.
.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是??x?a?rcos?(φ是参数)
?y?b?rsin?φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
x2y2(2)椭圆 椭圆2?2?1(a＞b＞0)的参数方程是
ab
?x?acos???y?bsin? (φ为参数)
y2y2椭圆 2?2?1(a＞b＞0)的参数方程是
ab?x?bcos?(φ为参数) ??y?asin?3.极坐标
极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.
点的极坐标 设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
??2?x2?y2?x??cos?? ? ?y?y??sin?'?tg??(x?0)x?三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
22
例1 在圆x+y-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.
解： 将圆的方程化为参数方程：
.
?x?2?5cos?（?为参数） ??y?1?5sin?则圆上点P坐标为(2+5cosd=
?，1+5sin?)，它到所给直线之距离
120cos??15sin??304?322
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2 极坐标方程ρ=A.直线 线
12?3sin??cos?B.椭圆
所确定的图形是（ ）
C.双曲
D.抛物
解： ρ=
12[1?(31?cos?)]221??121?sin(???6
)(三)综合例题赏析 例3 椭圆??x?3?cos?(?是参数)的两个焦点坐标是 （ ）
?y??1?5sin?
B.(3，3)，(3，-5) D.(7，-1)，(-1，-1)
A.(-3，5)，(-3，-3) C.(1，1)，(-7，1)
(x?3)2(y?1)2??1 解：化为普通方程得
925∴a=25,b=9,得c＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.
例4 参数方程
2
2
2
???x?cos?sin??22(0???2?)表示 ??y?1(1?sin?)?2?A.双曲线的一支，这支过点(1，
1) 2 B.抛物线的一部分，这部分过(1，
1) 2.
C.双曲线的一支，这支过(-1，
1) 2 D.抛物线的一部分，这部分过(-1，
1) 2解：由参数式得x=1+sinθ=2y(x＞0) 即y=
2
12
x(x＞0). 2∴应选B. 例5 在方程??x?sin?(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )
?y?cos?12，） 33
C.(
A.(2,-7) B.（
11，) 22D.(1，0)
解：y=cos2?=1-2sin2?=1-2x2 将x=
11代入，得y= 22∴应选C.
2
例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x-y=0表示同一曲线的方程是( )
?x?t?x?costA.? B.? 2?y?cost?y?t C.
?x?tgt?1?cos2t ?y??1?cos2t?
?x?tgt?D.?1?cos2t
y??1?cos2t?
2
解：普通方程x-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.
2cos2t1122
?C.中y==ctgt==，即xy=1，故排除C. 222tgtx2sint∴应选D.
例7 曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( ) 222222
A.x+(y+2)=4 B.x+(y-2)=4 C.(x-2)+y=4 22
D.(x+2)+y=4
解：将ρ=x2?y2，sinθ=∴应选B.
例8 极坐标ρ=cos(
yx2?y2代入ρ=4sinθ，得x+y=4y，即x+(y-2)=4.
2222
?4
??)表示的曲线是( )
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
A.双曲线
.
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