转动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明
1．(2016·泉州)如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴CE＝CD，BC＝AC.
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE. ∴∠ECB＝∠DCA.
?AC＝BC，
在△CDA与△CEB中，?∠DCA＝∠ECB，
?DC＝EC，
∴△CDA≌△CEB.
2．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)证明：∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. 又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF. (2)AB∥DE，AC∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE. ∴AB∥DE，AC∥DF.
3．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：AB＝AC；
(2)假设AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∵BD＝CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝23，
AD
∴AC＝＝4.
cos30°
4．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N别离为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)假设∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
1
解：(1)证明：在△CAD中，∵M，N别离是AC，CD的中点，∴MN∥AD且MN＝AD.
21
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝AC.
2又∵AC＝AD，∴MN＝BM.
(2)∵∠BAD＝60°且AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°. 1
由(1)知，BM＝AC＝AM＝MC，
2
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°. ∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°. ∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°. ∴BN2＝BM2＋MN2.
11
而由(1)知，MN＝BM＝AC＝×2＝1，∴BN＝2.
22
5．(2016·泰州)如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE. (1)求证：AD∥BC；
(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，假设AF＝4，求BC的长．
解：(1)证明：∵AD平分∠CAE， 1
∴∠DAG＝∠CAG.
2∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB.
1
∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝∠CAG.
2∴∠B＝∠DAG.∴AD∥BC.
(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.
?∠CAF＝∠GAF，
在△AFC和△AFG中，?AF＝AF，
?∠AFC＝∠AFG，
∴△AFC≌△AFG(ASA)． ∴CF＝GF. ∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BGC.
∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2. ∴BC＝2AF＝2×4＝8.
6．(2021·菏泽)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.
(1)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判定△CDF的形状并证明；
(2)如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？假设是，请求出它的度数；假设不是，请说明理由．
解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC.
在△FAD与△DBC中，
?AD＝BC，
?∠FAD＝∠DBC， ?AF＝BD，
∴△FAD≌△DBC(SAS)． ∴FD＝DC.
∴△CDF是等腰三角形． ∵△FAD≌△DBC，
∴∠FDA＝∠DCB.
∵∠BDC＋∠DCB＝90°，
∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°. ∴△CDF是等腰直角三角形． (2)∠APD的度数是固定值．
作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连接DF，CF. ∵AF⊥AD，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠DBC，AF∥CE.
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