教师辅导讲义
学员编： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段 T同步课堂 年 级：五年级 辅导科目：奥数 课 时 数：3 教师： 第24讲——包含与排除 P实战演练 S归纳总结 ① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：AB?A?B?AB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A 1．先包含——A?B 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB 把多加了1次的重叠部分AB减去． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB，即阴影面积． B，即阴影面积． B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数． 1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、CA重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C? AB?BC?AC计算时都被减掉了． 3．再包含：A?B?C?AB?BC?AC?ABC． 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ ACB 【解析】如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人．小组的人，有28?12?16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29?12?17(人)． 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16?12?17?45(人)． 方法二：根据包含排除法，直接可得： 参加语文或数学兴趣小组的人?参加语文兴趣小组的人?参加数学兴趣小组的人?两个小组都参加的人，即：28?29?12?45(人)． 例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？ 会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的 【解析】如图，用长方形表示全班人数， A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数． 由图中可以看出，全班人数?至少会一项的人数?两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20?25?10?35(人)，全班人数为：35?9?44 (人)． 例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的 【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数． 长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数． 由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的人数为：46?6?40(人)， 而至少采了一种的人数?只采了樱桃的人数?两种都采了的人数?只采了杏的人数， 所以，只采了杏的人数为：40?18?7?15(人)． 例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 乙A丙B甲 【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16， 通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15， 那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画， 进而可以求出五年级画作有13幅，六年级画作有12幅， 那么就可以求出其他年级的画作共有3幅． 考点二：三量重叠问题 例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？ 【解析】（1）有6个数学不及格，那么及格的有：25?6?19(人)， 即最多不会超过19人会这三项运动之一． 而又因为没人全会这三项运动，那么， 最少也会有：（17?13?8）?2?19(人)至少会这三项运动之一． 于是，至少会三项运动之一的只能是19人， 而这19人又不是优秀，说明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格， 所以没有数学成绩优秀的． （2）上面分析可知，及格的19人中，每人都会两项运动； 会骑车的一定有一部分会游泳，一部分会滑冰； 会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰， 而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳， 但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以， 全班有19?17?2(人)既会游泳又会滑冰． 考点三：图形中的重叠问题 例1、把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38?53?4?87(厘米)． 例2、两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 4厘米2厘米图3 【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠(见图中的阴影部分)， 重叠部分恰好是边长为2厘米的正方形， 如果利用两个4?2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积， 那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次， 而实际上这部分只需计算一次就可以了． 所以，被覆盖面积?长方形面积之和-重叠部分． 于是，被覆盖面积?4?2?2?2?2?12(平方厘米)． 例3、三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？ A10BC 【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法， 三个纸片盖住桌面的总面积?(A圆面积?B圆面积?C圆面积）?（A与B重合部分面积?A与C重合部分面积?三个纸片共同重叠的面积， ?B与C重合部分面积）（50?50?50）（?A与B重合部分面积?A与C重合部分面积?B与C重合部分面积）?10， 得：100?得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：160?100?60平方厘米， 而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和， 即：60?10?3?阴影部分面积， 则阴影部分面积为：60?30?30(平方厘米)．
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