一元二次方程根与系数的关系公开课教案

一元二次方程根与系数的关系教案

教材出处：义务教育课程标准实验教科书23.3实践与探索第1课时根与系数的关系。 授课时间：2016年8月31 教学目标：

1、知识目标：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。

2、能力目标：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。

3、情感目标：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。

教学重点：根与系数的关系的推导、运用。

教学难点：正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。 教学方法：发现法，引导法，讲练结合法。 教学过程：

一、问题情境，导入新课： 解下列方程，并填写表格：

方 程 x2?2x?0 x1 x2 x1+x2 x1?x2 x2?3x?4?0 x2?5x?6?0

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程x2?px?q?0(p、q为常数，p2?4q?0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？

（2）关于x的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

二、探究新知： 1、根与系数关系：

（1）关于x的方程x2?px?q?0(p、q为常数，p2?4q?0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：

x1?x2??p， x1x2?q。

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引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？

（2）形如ax2?bx?c?0(a?0)的方程，如果b2?4ac?0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。

然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程ax2?bx?c?0(a?0) ∵a?0

bc ∴x2?x??0

aabc ∴x1?x2??，x1x2?

aa对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。 证明：∵ax2?bx?c?0(a?0)，当b2?4ac?0时根为：

?b?b2?4ac x?2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac设x1?，x2?，则

2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac?2bb∴x1?x2?????

2a2a2aa?b?b2?4ac?b?b2?4acb2?(b2?4ac)4acc x1?x2????2?

2a2aa4a24a学生思考、归纳并回答下列问题：

（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？ （2）运用根与系数的关系要注意些什么？ 三、应用举例

例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：

1（1）x2?3x?1?0 （2）2x2?3x?5?0 （3）x2?2x?0

3（4）2x2?6x?3 （5）x2?2?0 （6）x2?2x?1?0 例2、已知方程2x2?kx?9?0的一个根是－3，求另一根及k的值。

先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：

解法一：解法二：

∵方程2x2?kx?9?0的一个根为?3设方程的另一个根为x1,由根与系数的关系可知：∴　2?(?3)2?k?(?3)?9?0公开课教案 第 2 页 共 4 页k 9?3?x1＝?，（?3）x1＝?22∴k?3，把k?3代入原方程得：3　　2x2?3x?9?0∴x1＝，k＝32

从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？

例3、已知?、?是方程x2?2x?2005?0的两个实数根，求?2?3???的值。

分析：因为?、?是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将?代入原方程可得

?2?2??2005?0，所以?2?2??2005，而?2?3????(?2?2?)?(???)，利用根与系数

的关系可知?????2，从而可求?2?3???的值。

解：∵　?、?是方程x2?2x?2005?0的两根。由根与系数的关系可知： 　　?+???2，?2?2??2005?0 ∴　?2?2??2005 ∴　?2?3????(?2?2?)?(???) 　　　　　　　=2005+(-2) =2003四、巩固练习：

1、已知方程x2?2kx?9?0的两根互为相反数，求k的值。

2、已知关于x的方程x2?3x?m?0的一个根是另一个根的2倍，求m的值。

3、备选题：关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?2?0两实数根的平方和等于11，求k的值。 五、归纳小结：

1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？ 2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？

3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？ 六、课后作业：

1、若方程x2?4x?1的两个根为x1，x2，则x1，x2的值是 。

2、已知a，b是方程x2?x?2009?0的两个实数根，则a2?2a?b的值为 。

＝0的两根为x1，x2，则3、若方程2x2?3x?111?的值为 。 x1x224、关于x的一元二次方程x2?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、x2，且x12?x2?7，

求(x1?x2)2的值。

板书设计：

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一元二次方程根与系数的关系

1、对于ax2?bx?c?0(a?0)的方程，若b2?4ac?0，两根为x1，x2。

那么x1?x2??bc，x1?x2? aa2、根与系数关系使用的前提是： （1）是一元二次方程，即a?0。

（2）方程为一般形式。即形如：ax2?bx?c?0。 （3）判别式大于等于零，即b2?4ac?0。

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