一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）
1．设集合E??x|sinx|???12,x?(??4??3,)?，则E的真子集的个数为 15 ．
3?2．已知函数f(x)?6x?bx?42的最大值为
94，则实数b? 5 ．
3．若|lg?|?1，则使函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)为奇函数的?的个数为 3 ．
4．在△ABC中，已知?B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，BK?322，则△ABC的面积为
15167．
*5．数列{an}满足：a1?1,a2?3，且an?2?|an?1|?an(n?N)．记{an}的前n项和为
Sn，则S100? 89 ．
6．已知OA?a，OB?b，过O作直线AB的垂线，垂足为P．若|a|?3,|b|??AOB?3，
?6，OP?xa?yb，则x?y? -2 ．
7．已知实数x,y,z满足xyz?32，x?y?z?4，则|x|?|y|?|z|的最小值为 12 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数f(x)?ax?bx?c的图象经过点(?2,0)，且不等式
2x?f(x)?12x?2对一切实数x都成立．
22（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若对一切x?[?1,1]，不等式f(x?t)?f()恒成立，求实数t的取值范围．
2x解（1）由题设知，4a?2b?c?0． ①
令2x?12x?2，解得x?2，由题意可得2?2?f(2)?212?2?2，即4?f(2)?4，
2所以f(2)?4，即4a?2b?c?4． ②
由①、②可得c?2?4a,b?1． ……………………4分 又f(x)?2x恒成立，即ax2?(b?2)x?c?0恒成立，所以a?0，且
??(b?2)?4ac?0，即(1?2)?4a(2?4a)?0，所以a?2214，从而c?2?4a?1．
因此函数f(x)的解析式为 f(x)?x14x?x?1． ……………………8分
221?x?x（2）由f(x?t)?f()得(x?t)2?(x?t)?1?????1，
244?2?21整理得 (x?2t)(x?当?2t??2t?832t?83)?0．
2t?83即t?2时，?2t?x??，此不等式对一切x?[?1,1]都成立的
?2t??1??充要条件是?2t?8，此不等式组无解．
??1?3?2t?8当?2t??即t?2时，(x?2t)2?0，矛盾． ……………………12分
32t?82t?8?x??2t，此不等式对一切x?[?1,1]都成立的充当?2t??即t?2时，?33?2t?851????1??t??要条件是?，解得． 322???2t?1综合可知，实数t的取值范围是????52,?1??． ……………………16分 2?
10．已知数列{an}中，a1?1,a2?（1）求数列{an}的通项公式；
14，且an?1?(n?1)ann?an(n?2,3,4,?)．
n（2）求证：对一切n?N，有?ak2?k?1*76．
解 （1）由已知，对n?2有
1an?11?n?an(n?1)an?1n(n?1)?n(n?1)an?1n?1，
两边同除以n，得
1nan?1?(n?1)an1n?11n，
即
1nan?1n?1?1(n?1)an??(?)， ……………………5分
n?1?1?11?1?1??????(1?)， 于是，??????(k?1)ak?k?n?1k?2?kak?1k?2?k?1即
1(n?1)an1?1a2???(1?1n?11),n?2，
所以
1a2(n?1)an?(1?n?11)?3n?2n?1*，an?13n?2,n?2．
又n?1时也成立，故an?（2）当k?2，有
ak?23n?2,n?N． ……………………10分
1(3k?2)2?1(3k?4)(3k?1)?133k?4(1?13k?1)，………………15分
所以n?2时，有
nn?k?1a2k?1??k?2ak?1?21?111111? (?)?(?)???(?)?3?25583n?43n?1???1?1?11?17????1??. 3?23n?1?6676n2又n?1时，a1?1?.
2故对一切n?N，有?ak?k?1*76． ……………………20分
11．设P?x4?6x3?11x2?3x?31，求使P为完全平方数的整数x的值． 解 P?(x2?3x?1)2?3(x?10)．
所以，当x?10时，P?1312是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x满足要求．
（1）当x?10时，有P?(x2?3x?1)2，
又P?(x2?3x)2?2x2?3x?31?0，所以P?(x2?3x)2， 从而(x2?3x)2?P?(x2?3x?1)2．
又x?Z，所以此时P不是完全平方数． ……………………10分 （2）当x?10时，有P?(x2?3x?1)2．令P?y2,y?Z， 则|y|?|x2?3x?1|，即|y|?1?|x2?3x?1|， 所以 y2?2|y|?1?(x2?3x?1)2， 即 ?3(x?10)?2|x2?3x?1|?1?0．
解此不等式，得x的整数值为?2,?1,0,?3,?4,?5,?6，但它们对应的P均不是完全平方数． 综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10. ……………………20分
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