几何图形的归纳,猜想问题

几何图形的归纳,猜想,证明问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B2D1C1的面积为S1，?B3D2C2的面积为． S2，…，?Bn?1DnCn的面积为Sn，则S2= ；Sn=____ （用含n的式子表示）【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样

的。第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S2所代表

B1D1AC1B2D2C2B3D3C3B4D4C4C5B5CDAC2D2的底边,而这个三角形

的三角形的底边22是三角形

1223ACBACACS??2??3?33是相似的.所以边长的比例就是2与3的比值.于是2和△233.接下来通过总结,我

们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边

DDBC都是平行的，于是自然可以得出 n自然是所在边上的n+1等分点.例如2就是22的一个三等分点.于是

112n3nn?1?1S?DC?3??3?DnCn??2(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)?Bn?1DnCnnn22n?1n?1 n?1【例2】

在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形ABCD0)，(0，4)，(8，0)，(0，?4)，的四个顶点坐标分别是(?8，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_______

0)，(0，n)，(2n，0)，(0，?n)（n为正整数）个；若菱形AnBnCnDn的四个顶点坐标分别为(?2n，，则菱形AnBnCnDn能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有n的式子表示）． 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数

出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自y己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需

4B求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。

比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过

（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为y?1x?n,斜率212意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些

RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比

A-8OC8x-4D1是不是就是2?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两

1?2n?n个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是2,所有n个空白小三角形的面积之和为12n??2?1n?n,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是

,相减之后自然就是所有格点正方形的面积24n2?4n.

……

【例3】2010，平谷，一模

357911...的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组如图，?AOB?45?，过OA上到点O的距离分别为1，，，，，黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，?．则第一个黑色梯形的面积S1? ；观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积Sn? ．

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为

?AOB?45?，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固

S2S1BS3S41S???1?3??2?4.第二个梯形面积定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以12A110135791113...S2???5?7??2?12,第三个是S3???9?11??2?20,至此,我们发现本题中梯形面

22积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是

1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是Sn就是8n-4.

【例4】

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有 个．

y【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于AnBnCnDn来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是A10B10C10D10就是80个.

【例5】2010，宣武，一模

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8

B3A3A2A1321D112C1C2C33xD2D3-3-2-1OB1-1B2-2-31个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的8，故而得解。

【例6】2010，门头沟，一模

如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，??，如此作下去，若OA?OB?1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn? ________（n为正整数）.

B2

【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。

2n124由题可得S1?，Sn? S2?，S3?...A1222，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是2

AOBB1

第二部分 发散思考

【思考1】2009，西城，二模

如图，在平面直角坐标系xOy中，B1(0,1)，B2(0,3)，B3(0,6)，B4(0,10)，?，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3B4，?，如果所作正方形的对角线BnBn?1都在 y轴上，且BnBn?1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内（n≥1，且n为整(n?12)数）．那么A1的纵坐标为 2 ；用n的代数式表示An的纵坐标： ．

2

【思考2】2009，朝阳，二模

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一 次跳到点P关于x轴的对称点P1处，接着跳到点P1关于y轴 的对称点 P2 处，第三次再跳到点P2关于原点的对称点处，…， 如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是 （3，－2） ．