高等数学第7章微分方程解答

习题7-2 可分离变量的微分方程

1求下列微分方程的通解： （1）1?x2y??1?y2； 解 原方程为1?x2dydydx 两端积分得 ?1?y2，分离变量得?22dx1?y1?x（C为任意常数） arcsiny?arcsinx?C，

即为原方程的通解。

（2）secxtanydx?secytanxdy?0；

22sec2ysec2x解 将原方程分离变量，得 dy??dx

tanytanx两端积分得lntany??lntanx?lnC 或lntanxtany?lnC 故原方程的通解为tanxtany?C（C为任意常数）。

2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y?sinx?ylny,yx??2?e； dydx? ylnysinx解 将原方程分离变量，得

x??d?tan?d?lny?x2????两端积分得?， 即lnlny?lntan?lnC

x2lnytan2故原方程的通解为lny?Ctan为y?etanx2x?,代入初始条件x?,y?e,得C?1.于是,所求之特解22.

x?2（2）xdy?2ydx?0,y?1.

dydx??2 yx解 将原方程分离变量，得

两端积分得

dydx??2?y?x， 即lny??2lnx?lnC

2故原方程的通解为xy?C,代入初始条件x?2,y?1,得C?4.于是,所求之特解为

x2y?4.

3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.

解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x轴与y轴上的截距分别为2x与2y,于是切线的斜率y??dydx2y?0y??,积分得lny??lnx?lnC,即??,分离变量得yx0?2xxxy?C.

代入初始条件yx?2?3,得C?6,故曲线方程为xy?6.

习 题 7-3 齐次方程

1、求下列齐次方程的通解 （1）xy??y?y2?x2?0

2yy?y?解 (a) 当x?0时,可将方程改写成y??????1.令u?,即y?xu,所以有

xx?x?y??u?xu?.则原方程成为u?xu??u?u2?1.分离变量,得两边积分得lnu?u2?1?lnx?lnC,即u?u2?1?Cx. 将u?

duu2?1?dx. xy222代入上式整理,得通解为y?y?x?Cx; x

y(b) 当x?0时,方程两边同除以?x,则原方程可改写成?y???xyy???xy2?x2x222y2?x2?0,即

?xy?y??y??????1?0(因为x?0时,?x?x?x2),也就是

x?x?y?y?y??????1.与x>0的情况一样)

x?x?所以,对任意的x?0,方程的通解为y?y2?x2?Cx2(C为任意常数).

（注:如果C=0,则由原方程知,xy??0,即x?0或y?A,若x?0,则原方程变为

y?y2?0,只有当y?0时成立;若y?A(A为常数),则原方程变成A?A2?x2?0,

当A<0时方程有解.）

yyy?3ycos)dx?3xcosdy?0 xxx2yydyy

解 原方程可改写成tan???0.令u?,即y?xu,所以有y??u?xu?.则原

3xxdxxdu23dudx方程成为u?x?tanu?u.分离变量,得?.

dx32tanux332两边积分得lnsinu?lnx?lnC,即sinu?Cx.

2y3y将u?代入上式,得通解为sin?Cx2(C为任意常数). xx（2）(2xsin222. 求齐次方程(y?3x)dy?2xydx?0,y|x?0?1满足所给初始条件的特解

?x?xdxduxdx?u?y?0.令u?,即x?yu,有解 原方程可写成1?3???2,所dydyyydy?y?以原方程成为1?3u?2u?u?y22??du???0. dy?分离变量,得

2udy22u?1?Cy du?,积分得,即lnu?1?lny?lnC2u?1y代入u?x223并整理,得通解为x?y?Cy. y322由初始条件x?0,y?1,得C??1.于是所求特解为y?y?x.

习 题 7-4 一阶线性微分方程

1、求下列微分方程的通解 （1）

dy?y?e?x （2）(x2?1)y??2xy?cosx?0 （3）ylnydx?(x?lny)dy?0. dx解 (1) 由通解公式得,原一阶线性微分方程的通解为

?dx?x?dxdx?C??e?xy?e??e?e???????e?x?exdx?C?e?x?x?C?.

?(2) 将原方程改写成y??2xcosxy?.由通解公式得,原一阶线性微分方程的通22x?1x?1