11第十一章曲线积分与曲面积分习题答案

第十一章 曲线积分与曲面积分

第三节 Green公式及其应用

1．利用Green公式，计算下列曲线积分： (1)

2222x?y?9； ，其中为正向圆周xydy?xydxL?L解：由Green公式，得

?Lxy2dy?x2ydx???(x2?y2)dxdy?2?d??r3dr?D00222?381?， 2其中D为x?y?9。 (2)

yy(e?y)dx?(xe?2y)dy，其中L为以O(0,0),A(1,2)及B(1,0)为顶点的三角形负向边界； ?L解：由Green公式，得

yyyy(e?y)dx?(xe?2y)dy??(e?e?1)dxdy???dxdy?1。 ???LDD*(3)

222222x?y?6xx?y?3x的上半圆周，其中为的上半圆周从点到点及A(6,0)O(0,0)?xydx?xydyL?L从点O(0,0)到点B(3,0)连成的弧AOB；

解：连直线段AB，使L与BA围成的区域为D，由Green公式，得

???xydx?xydy???(y?x)dxdy?LD2222BA??xydx?xydy??2d??0226cos?3cos?r3dr?0

?15241543?5643cos?d???3????3??0444?2264?*(4)

?Lydx?xdy22，其中L为正向圆周x?(y?1)?4. 22x?yx2?y2?P?Q222解：因为，(x,y)?(0,0)。作足够小的圆周l:x?y?r,取逆时针方向，记L与l围成的??222?y?x(x?y)闭区域为D，由Green公式，得

L?l?ydx?xdy?0，故

x2?y2?Lydx?xdyydx?xdy???22?x2?y2x?yl2?22220?l?ydx?xdyr2??

?rsin??rcos?d???2?r2

23

2．计算下列对坐标的曲线积分：

xxe(1?2cosy)dx?2esinydy，其中L为曲线y?sinx上由点A(?,0)到点O(0,0)的一段弧； ?L解：P?ex(1?2cosy),Q?2exsiny，

?P?2ex?Q?ysiny??x， 故积分与路径无关，取A(?,0)经x轴到点O(0,0)的一条路径， 从而 原式=

x(1?2cosy)dx?2exsinydy??0xAO?e??edx?e??1。

*3．设函数f(u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L，有

?Lf(xy)(ydx?xdy)?0.

证明：

?P?y??Q?x?f(xy)?xyf?(xy)，记L围成的闭区域为D, 由Green?Lf(xy)(ydx?xdy)???0dxdy?0.

D

第四节 对面积的曲面积分

1．填空题：

(1) 设?为球面x2?y2?z2?1，则

??dS? 4? ；

?(2) 面密度?(x,y,z)?3的光滑曲面?的质量M? 3 .

???dS2．计算下列对面积的曲面积分： (1)

??(2x?y?2z)dS，其中?为平面x?y?z?1在第一卦限的部分；

?解：Dxy?{(x,y)|x?y?1,x?0,y?0}，z?1?x?y，dS?3dxdy

原式=??(2x?y?2(1?x?y))3dxdy?3?11?x0dxD?0(2?y)dyxy

?3?10(32?x?1532x2)dx?6(2)

??zdS，其中?为z?1?2(x2?y2)(z?1)的部分； 解：D22xy?{(x,y)|x?y?2}?{(r,?)|0?r?2,0???2?}，

24

公式，得dS?1?x2?y2dxdy

原式??? *(3) 解：??21212?22232(x?y)1?x?ydxdy?d?r1?rdr????0022Dxy??2?203[(r2?1)?1]1?r2dr23/2

2?0[(1?r)2?1?r2]dr2?2?(63?1)15dS，其中?为x?y?z?1,x?0,y?0,z?0围成四面体的整个边界. 2???(1?x?y)?1??2??3??4， 其中

?1:z?1?x?y,Dxy:x?y?1,dS?3dxdy，

??2:x?0,Dyz:y?z?1,dS?dzdy， :y?0,Dzx:x?z?1,dS?dxdz，

3?4:z?0,Dxy:x?y?1,dS?dxdy。

原式??1??????dS????????(1?x?y)2?2?3?43dxdydydzdxdzdxdy?????(1?y)2D??(1?x)2D??(1?x?y)2(1?x?y)2DDxyyzzxxy11?x001dydy?(1?x?y)2?0(1?y)2?(3?1)?dx??1?y0dz??1?xdxdz

0(1?x)2?01111?y11?(3?1)?(?)dx?2?dy201?x02(1?y)?(3?1)ln2?

3?3225

第七节 Stokes公式 *环流量与旋度

1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： (1)

22223x?y?a，为面内圆周逆时针方向； xOyxydx?dy?zdz???解：取?为平面z?0的下侧被?围成的部分，D为?在xOy面上的投影区域。 由Stokes公式，得

dydzdzdxdxdy?原式=???x?x2y3 (2)

??y1??????3x2y2dxdy????3x2y2dxdy??a6 ?z8D?z?(y?2?z2)dx?(z2?x2)dy?(x2?y2)dz，?为平面x?y?z?1在第一卦限部分三角形的边界，从x轴正

向看去是逆时针方向；

解：取?为平面z?0的上侧被?围成的部分，?的单位法向量n?(111,,)。 由Stokes公式，得 333 26