穿越自测
一、选择题
1．[2017·全国卷Ⅰ·文5，本题考查了双曲线的标准方程和性质，考查了数形结合思想以及运算求解能力]
已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐
3标是(1,3)，则△APF的面积为( )
1A. 32C. 3答案 D
解析 因为F是双曲线C：x－＝1的右焦点，所以F(2，0)．
3因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)． 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，
3所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1， 113
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝. 222故选D.
2．[2017·全国卷Ⅰ·文12，本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，夹角公式，考查了运算求解能力]
2
2
y2
1
B. 23D. 2
y2
y2Px2y2
设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则
3mm的取值范围是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) 答案 A
解析 解法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)． 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 23|y|
. 22
3＋x3－xx＋y－31－·|y||y|
＝
3＋x3－x＋|y||y|
B．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞)
＝
又tan∠AMB＝tan120°＝－3，
2x2y23y2
且由＋＝1可得x＝3－，
3mm
则
23|y|23|y|
＝＝－3. 23y3?22?3－＋y－3?1－?ym?m?
解得|y|＝
2m. 3－m2m≤m，结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 解法二：当0 当m>3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan60°＝3，即ab3 m≥ 3， abm3 ≥ 3，解得m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 3．[2017·全国卷Ⅱ·文5，本题考查了双曲线的离心率，考查了分析推理能力] x22 若a＞1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( ) aA．(2，＋∞) C．(1，2) 答案 C B．(2，2) D．(1,2) a2＋1 解析 由题意得双曲线的离心率e＝. aa2＋11∴e＝2＝1＋2. aa2 11 ∵a>1，∴0<2<1，∴1<1＋2<2， aa∴1 4．[2017·全国卷Ⅱ·文12，本题考查了抛物线的标准方程，几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查了分析问题解决问题的能力，运算求解能力] 过抛物线C：y＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( ) A.5 B．22 2 C．23 答案 C D．33 解析 抛物线y＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得 2 直线MF的方程为y＝3(x－1)． 联立得方程组? ?y＝3x－?y2＝4x， ， 1x＝，??3解得? 23y＝－??3 2 ?x＝3， 或? ?y＝23. ∵点M在x轴的上方， ∴M(3,23)． ∵MN⊥l，∴N(－1,23)． ∴|NF|＝ |MF|＝|MN|＝ ＋ ＋ 2 －23＋ 2 ＝4， 2 ＋3－23＝4. ∴△MNF是边长为4的等边三角形． ∴点M到直线NF的距离为23. 故选C. 5．[2017·全国卷Ⅲ·文11，本题考查了椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力] x2y2 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与 ab直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( ) A.C.6 32 3 B.3 3 1D. 3 答案 A 解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a. 又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝∴＝2aba＋b22 ＝a，解得a＝3b， ba13 ， 1－??＝ aca2－b2∴e＝＝＝ aa故选A. ?b?2 ?? 1－? 6?1?2 ?＝3. ?3? 6．[2017·全国卷Ⅲ·文12，本题考查了函数的零点，函数的性质，考查了函数与方程的思想，运算求解能力] 已知函数f(x)＝x－2x＋a(e1A．－ 21C. 2答案 C 2x－1－x＋12x－1－(x－1) 解析 解法一：f(x)＝x－2x＋a(e＋e)＝(x－1)＋a[e＋e]－1， 2 x－1 ＋e －x＋1 )有唯一零点，则a＝( ) 1 B. 3D．1 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t＋a(e＋e 2 t－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)＋a(e＋e)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， 1 ∴2a－1＝0，解得a＝. 2故选C. 解法二：f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. e x－1 －x＋1 2－tt＋e≥2e x－1 ·e 2 －x＋1 ＝2，当且仅当x＝1时取“＝”． －x＋2x＝－(x－1)＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”． 若a＞0，则a(e x－1 2 ＋e －x＋1 1 )≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝. 2 若a≤0，则f(x)的零点不唯一． 故选C. 7．[2017·北京卷·文7，本题以向量知识为背景考查了充要条件，考查了推理论证能力，分类讨论思想] 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 A 解析 解法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0. B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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