16．[2017·天津卷·文10，本题考查了导数的几何意义，切线方程的求解] 已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
答案 1
1
解析 ∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
x又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)， ∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)． 令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
17．[2017·天津卷·文12，本题考查了抛物线的几何性质，圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了运算求解能力]
设抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________．
答案 (x＋1)＋(y－3)＝1
2
2
2
解析 由y＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.
2
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，
所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3. 所以圆的方程为(x＋1)＋(y－3)＝1.
18．[2017·山东卷·文15，本题考查了双曲线与抛物线相交问题，以及两种曲线的几何性质，考查了数形结合思想，运算求解能力]
2
2
x2y22
在平面直角坐标系xOy中，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线xab＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__________________．
答案 y＝±2x 2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
xy??2－2＝1，由?ab??x2＝2py，
2
22
得ay－2pby＋ab＝0，
22222
2pb∴y1＋y2＝2. a又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，∴y1＋y2＝p，
222
pppb21b2∴2＝p，即2＝，∴＝， aa2a2
2pb∴双曲线的渐近线方程为y＝±2
x. 2
2
19．[2017·江苏卷·文8，本题考查了双曲线的几何性质，考查了运算求解能力] 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，
3
x2
2
Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．
答案 23
解析 如图所示，双曲线－y＝1的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，
3所以|F1F2|＝4.
x2
2
a23
双曲线－y＝1的右准线方程为x＝＝，
3c2
2
x2
渐近线方程为y＝±3x＝，??2由?
3y＝x，??3
3
x. 3
3?3??3?3
得P?，?.同理可得Q?，－?.
2??22??2
11
∴|PQ|＝3，∴S四边形F1PF2Q＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×3＝23.
22三、解答题
20．[2017·全国卷Ⅰ·文20，本题考查了抛物线的切线方程，直线与抛物线的位置关系，考查了学生综合分析问题，解决问题的能力，运算求解能力]
设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
4(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
44于是直线AB的斜率k＝
x2
x21x22
y1－y2x1＋x2
＝＝1. x1－x24
(2)由y＝，得y′＝.
42
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)．
2设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 将y＝x＋m代入y＝得x－4x－4m＝0.
4
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2m＋1. 从而|AB|＝2|x1－x2|＝4由题设知|AB|＝2|MN|，即4所以直线AB的方程为y＝x＋7.
21．[2017·全国卷Ⅰ·文21，本题考查了本题考查了利用导数讨论函数的单调性，根据不等式求参数范围，考查了分类讨论思想，函数与方程的思想]
已知函数f(x)＝e(e－a)－ax. (1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
xx2
x2xx3
x2
2
m＋m＋
.
＝2(m＋1)，解得m＝7.
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增．
③若a<0，则由f′(x)＝0得x＝ln ?－?.
?2?
2x?a?
??a??当x∈?－∞，ln ?－??时，f′(x)<0； ??2??
当x∈?ln ?－?，＋∞?时，f′(x)>0. ??2??故f(x)在?－∞，ln ?－??上单调递减， ??2??在?ln ?－?，＋∞?上单调递增．
??2??(2)①若a＝0，则f(x)＝e，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)得，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－aln a， 从而当且仅当－aln a≥0，即a≤1时，f(x)≥0.
③若a<0，则由(1)得，当x＝ln ?－?时，f(x)取得最小值，最小值为f?ln ?－??＝
?2???2??3
4?3?a???3?a??a2?－ln ?－2??，从而当且仅当a2?－ln ?－2??≥0，即a≥－2e 时，f(x)≥0.
???????4?4
3
4
综上，a的取值范围是[－2e ，1]．
22．[2017·全国卷Ⅱ·文20，本题考查了曲线轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，考查了运算求解能力和转化与化归的数学思想]
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P2→
→
满足NP＝ 2 NM.
(1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
→
→
→
→
解 (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)． 由NP＝2NM得x0＝x，y0＝2y. 2
2
2
2x?
?a??
?
?a??
?
?a??
?a?
?
?a??
x2
2
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2. (2)证明：由题意知F(－1,0)． 设Q(－3，t)，P(m，n)， →
－m，t－n)．
→
→
→
→
→
则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3
2
2
x2y2
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