②若关于x的不等式g(x)≤e在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围． 解 (1)由f(x)＝x－6x－3a(a－4)x＋b，可得
3
2
xf′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．
令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝4－a. 由|a|≤1，得a<4－a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，a) ＋ (a,4－a) － (4－a，＋∞) ＋ x 所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)． (2)①证明：因为g′(x)＝e(f(x)＋f′(x))，
?g由题意知?
?g?fx所以??e x00
x0
x0＝e，x0＝e x0
＝e
x0
，
x0
，
fx0＋fx0＝e
x0
，
??f解得?
?f?
x0＝1，
xx0＝0.
所以，f(x)在x＝x0处的导数等于0.
x②因为g(x)≤e，x∈[x0－1，x0＋1]，且e>0， 所以f(x)≤1.
又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，
所以x0为f(x)的极大值点，由(1)知x0＝a. 另一方面，由于|a|≤1，故a＋1<4－a.
由(1)知f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤e在[x0－1，x0＋1]上恒成立．
由f(a)＝a－6a－3a(a－4)a＋b＝1，得b＝2a－6a＋1，－1≤a≤1. 令t(x)＝2x－6x＋1，x∈[－1,1]，所以t′(x)＝6x－12x. 令t′(x)＝0，解得x＝2(舍去)或x＝0. 因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，
所以，t(x)的值域为[－7,1]．所以，b的取值范围是[－7,1]．
29．[2017·天津卷·文20，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查了分析推理能力，运算求解能力]
3
2
2
3
2
3
2
xx2y2
已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，
ab△EFA的面积为.
2
(1)求椭圆的离心率；
b2
3
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，
2
PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率； ②求椭圆的方程．
解 (1)设椭圆的离心率为e. 1b由已知，可得(c＋a)c＝. 22
又由b＝a－c，可得2c＋ac－a＝0， 12
即2e＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.
2
11
又因为0 22 1 (2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，则直线FP的斜率为. 2 2 2 2 2 2 m由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程 2cc联立，可解得x＝ xym－c3c?，y＝，即点Q的坐标为?m＋2m＋2?m－c3c?，. m＋2m＋2?? 3?由已知|FQ|＝c，有? 2?m－c?2?3c?2?3c?22 ＋c?＋?＝??，整理得3m－4m＝0，所以m＝?m＋2??m＋2??2? 43 (m＝0舍去)，即直线FP的斜率为. 34 x2y2 ②由a＝2c，可得b＝3c，故椭圆方程可以表示为2＋2＝1. 4c3c3x－4y＋3c＝0，??2 由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立?xy2 2＋2＝1，??4c3c 消去 y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0， 13c?3c?解得x＝－(舍去)或x＝c.因此可得点P?c，?， 2?7?进而可得|FP|＝ c＋c2 ?3c?25c＋??＝， ?2?2 5c3c所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c. 22 由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP. 3c39c1 因为QN⊥FP，所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，所以△FQN的面积为|FQ||QN| 248227c＝. 32 2 75c同理△FPM的面积等于. 32 75c27c由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c， 3232整理得c＝2c，又由c>0，得c＝2. 所以，椭圆的方程为＋＝1. 1612 30．[2017·山东卷·文20，本题考查了导数的几何意义，用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论思想，函数与方程思想，运算求解能力] 1312 已知函数f(x)＝x－ax，a∈R. 32 (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 解 (1)由题意f′(x)＝x－ax， 所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x－2x， 所以f′(3)＝3， 因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)， 即3x－y－9＝0. (2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx， 所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx ＝x(x－a)－(x－a)sinx ＝(x－a)(x－sinx)． 令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0， 所以h(x)在R上单调递增． 因为h(0)＝0， 所以当x>0时，h(x)>0； 当x<0时，h(x)<0. ①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)， 当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以当x＝a时，g(x)取到极大值， 13 极大值是g(a)＝－a－sina； 6 当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a. ②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sinx)， 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增； 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值． ③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)， 2 2 2 2 2 2 x2y2 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a； 当x＝a时，g(x)取到极小值， 13 极小值是g(a)＝－a－sina. 6综上所述： 当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数13 既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a－sina，极小值是g(0)＝－a； 6 当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值； 当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函13 数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a－sina. 6 31．[2017·山东卷·文21，本题考查了椭圆的标准方程，几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的几何性质，考查了转化与化归的思想，分析推理能力，运算求解能力] x2y22 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直 ab2 线y＝1所得线段的长度为22. (1)求椭圆C的方程； (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值． 解 (1)由椭圆的离心率为 2222 ，得a＝2(a－b)， 2
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