又P在椭圆E上，故＋＝1.
43
x2y200
x0－y0＝1，??22
由?x0y0
＋＝1，??43x0＋y0＝1，??22
?x0y0
＋＝1，??43
2
2
22
3
4737
解得x0＝，y0＝；
77
无解．
因此点P的坐标为?
?4737?，?.
7??7
35．[2017·江苏卷·文20，本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，不等式等知识，考查了函数与方程思想，构造函数思想，运算求解能力]
已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋1(a＞0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b＞3a；
7
(3)若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求a的取值范围．
2
2
2
a?a?2
解 (1)由f(x)＝x＋ax＋bx＋1，得f′(x)＝3x＋2ax＋b＝3?x＋?＋b－.
3?3?
3
2
2
2
当x＝－时，f′(x)有极小值b－. 33因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，
aa2
aaab?a?所以f?－?＝－＋－＋1＝0.
2793?3?
2a3
又a>0，故b＝＋. 9a因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根， 13
从而b－＝(27－a)≤0，即a≥3.
39a当a＝3时，f′(x)>0(x≠－1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值； －a－a－3b－a＋a－3b当a>3时，f′(x)＝0有两个相异的实根x1＝，x2＝.
33列表如下：
2
2
2
33
a2
x f′(x) f(x) 从而a>3.
(－∞，x1) ＋ x1 0 极大值 (x1，x2) － x2 0 极小值 (x2，＋∞) ＋ 故f(x)的极值点是x1，x2.
2a3
因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．
9a(2)由(1)知，2
b2aa3＝＋. 9aaa2
2t3232t－27
设g(t)＝＋，则g′(t)＝－2＝. 29t9t9t当t∈?
?36??36?，＋∞?时，g′(t)>0，从而g(t)在?，＋∞?上单调递增． ?2??2?
因为a>3，所以aa>33，故g(aa)>g(33)＝3， 即
b>3. a2
2
因此b>3a.
24a－6b22
(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1＋x2＝－a，x1＋x2＝.
39从而f(x1)＋f(x2)＝x1＋ax1＋bx1＋1＋x2＋ax2＋bx2＋1
3
2
3
2
x12x221222
＝(3x1＋2ax1＋b)＋(3x2＋2ax2＋b)＋a(x1＋x2)＋b(x1＋x2)＋2 3333
4a－6ab4ab＝－＋2＝0.
279
记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)， 123因为f′(x)的极值为b－＝－a＋，
39a123
所以h(a)＝－a＋，a>3.
9a23
因为h′(a)＝－a－2<0，于是h(a)在(3，＋∞)上单调递减．
9a7
因为h(6)＝－，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.
2因此a的取值范围为(3,6]．
3
a2
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