1990年全国高考数学理科

1990年全国高考数学（理科 ）试题及其解析

考生注意：本试题共三道大题（26个小题），满分120分.

一．选择题（共15小题，每小题3分，满分45分. 每小题都给出代号为A，B，C，D的四

个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内.每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分）

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)

(A){-2,4} (B){-2,0,4} (C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} (7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6

(B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线

(A)圆

（Ａ）

1 (B){(2,3)} (C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 2

(11)如图,正三棱锥S—ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有

(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有

(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是

(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)

二、填空题: （共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.）

(17)(x-1)-(x-1)(x-1)-(x-1)+(x-1)的展开式中,x2的系数等于 .

(18)已知{an公差不为零的等差数列,如果Sn是{an前n项的和,那

2

3

4

5

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .

(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ .

三、解答题. （共6小题，满分60分，第21题10分、第22题8分、第23题8分、第24题12分、第25题10分、第26题12分）

(21) 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.

（22 )

(23)如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)

参考答案及其解析

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D (9)B (10)D (11)C (12)B (13)B (14)C (15)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力. 解法一:

①

由②式得

d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0

解得 a1=4,a2=9.

代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12. ③

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9.

代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力. 解法一:由已知得