13．已知点A（﹣4，8）和点B（2，n）在抛物线y＝ax2上． （Ⅰ）求该抛物线的解析式和顶点坐标，并求出n的值；
（Ⅱ）求点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求此时点Q的坐标；
（Ⅲ）平移抛物线y＝ax2，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，点C（﹣2，0）是x轴上的定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB'最短，求此时抛物线的解析式；
②D（﹣4，0）是x轴上的定点，当抛物线向左平移到某个位置时，四边形A'B'CD的周长最短，求此时抛物线的解析式（直接写出结果即可）．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（4，0）． （1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC的周长最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，点Q是OB上的一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△
CQM为等腰三角形且△BQM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明
理由．
15．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣4分别与x轴，y轴交于点A和点C，抛物线y＝ax2﹣3x+c经过A，C两点，并且与x轴交于另一点B．点D为第四象限抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点D作DF⊥x轴，垂足为F，交直线AC于点E，连接BE．设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式；
（2）当∠ECD＝∠EDC时，求出此时m的值；
（3）点D在运动的过程中，△EBF的周长是否存在最小值？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
16．已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．
（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB＝90°． 求证：CO＝；
（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．
17．如图，已知直线y＝﹣3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x＝﹣1，该抛物线与x轴的另一个交点为B． （1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标． （3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点．作直线BC．点P是抛物线上的一个动点．过点P作PQ⊥x轴，交直线BC于点
Q．设点P的横坐标为m（m＞0）．PQ的长为d．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标； （2）求d与m之间的函数关系式；
（3）当点P在直线BC下方，且线段PQ被x轴分成的两部分之比为1：2时，求m的值； （4）连接AC，作直线AP，直线AP交直线BC于点M，当△PCM、△ACM的面积相等时，直接写出m的值．
19．平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝x2﹣x+c交x轴于A，B两点（如图），顶点是C，对称轴交x轴于点D，OB＝2OA， （1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，E是第三象限抛物线上一点，连接ED并延长交抛物线于点F，连接EC，FC，求证：∠ECF＝90°；
（3）如图3，在（2）问条件下，M，N分别是线段OA，CD延长线上一点，连接MN，CM，过点C作CQ⊥MN于Q，CQ交DM于点P，延长FE交MC于R，若∠NMD＝2∠DMC，DN+BO＝
MP，MR：RC＝7：3，求点F坐标．
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