概率论与数理统计教案
解：先求EX EX?0?163?1??2??1.2 101010163?(1?1.2)2??(2?1.2)2??0.36 101010x2f(x)dx??x2?2xdx?01则 E(X?EX)2?(0?1.2)2?例6：对例4中分布，求EX2.
EX2??????1 2补充例题：
例：离散型随机变量X的分布列为： X p 2?1 0．2 0 0．3 1 0．3 2 0．2 求随机变量Y?X?1的数学期望。
（5）由随机变量函数的数学期望给出方差的定义并说明其意义（书中例子）。（15分） 方差的定义：
定义：设X是一个随机变量，如果 E(X?EX) 2存在，则称 E(X?EX) 2为X的方差，记作DX，即DX?E(X?EX )2，称DX为
标准差或均方差. 方差的计算式：
DX?EX2?(EX) 2
方差的计算：
例7：对例4中的分布，求DX.
解：由例4、例5的结果可知
EX?21,EX2? 32221?2?1所以 DX?EX ?(EX) ?????
2?3?182（6）数学期望和方差的性质。（10分）
(i)数学期望的性质：
1）设C为任意一个常数，则E(C)?C；
2）设X为一随机变量，且EX存在，C为常数，则有E(CX)?CEX； 由1）、2）可得 E(aX?b)?aEX?b （a,b为任意常数）。 (ii)方差的性质：
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1）设C为常数，则DC?0；
2）如果X为随机变量，C为常数，则D(CX)?C2DX； 3）如果X为随机变量，C为常数，则有D(X?C)?DX； 由性质2）、3）可得 D(aX?b)?a2DX （a ，b为任意常数）。 （7）应用案例中例4或例5。或其它练习。（5分）
第八次课
教学内容：教材47-52页，主要内容：常见的离散型随机变量：一点分布、两点分布、二项分布、泊松分布的分布列、数字特征用应用。 教学目的：
（1）深刻理解每一个分布的实际意义，熟练掌握每个分布的分布列； （2）熟练掌握每个分布的数学期望方差的计算；并深刻理解其数字特征的实际意义；
（3）熟练掌握利用分布列求随机变量取值的概率的计算； （4）掌握泊松定理的应用。 教学的过程和要求：
（1）一点分布只用简单介绍，分布列及其性质，已经退化为几乎确定，但并非一个常数。（3分）
常见离散型随机变量的分布 1．一点分布（退化分布）：
一个随机变量X以概率1取某一常数a，即p{X?a}?1，则称X服从点a处的退化分布（一点分布）。
数学期望EX?a，方差DX?0。
（2）重点讲两点分布、二项分布。对于每个分布给出（或推出）分布例，说明满足分布列的性质，数学期望和方差是什么，分布中参数的意义及其变化对分布的影响。要重点讲解各分布的实际应用，两点分布与二项分布之间的关系，联系第一章独立重复试验部分的内容；（例1、例2、例3） 2．两点分布（贝努里分布）：
若随机变量X只有两个可能的取值 0和1，其概率分布为
X 0 1 p 1?p p 或 p(X?x)?p1?x(1?p)xx?0,1
则称X服从参数为p(p?0)的两点分布.（也称0-1分布）。
(q?1?p) 数学期望EX?p，方差DX?p(1?p)?pq 29
概率论与数理统计教案
3．二项分布：
设X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则X所有可能的取值为0，1，?，n，且相应的概率为
kkkp{X?k}?Cnp(1?p)n?k?Cnpkqn?k (q?1?p)，k?0，1，?，n.
称X服从参数为n、p的二项分布，记作X~B(n,p).
(q?1?p) 数学期望EX?np，方差DX?npq两点分布、二项分布的关系及应用：
例1：假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他投篮一次命中的次数，求X的概率分布.
解：投篮一次只有“不中”和“命中”两个结果，命中次数X只可能取0、1两个值，且概率分别为 p{X?0}?1?p{X?1}?1?0.8?0.2
p{X?1}=0.8 ，
也可表示为
X 0 1 p 0.2 0.8 例2：甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜. 假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？甲平均赢得的盘数是多少？
解：每一盘棋可看作一次贝努里试验. 设X为甲赢的盘数，则X~B(10,0.6)，即
kp(X?k)?C100.6k0.410?kk?0,1,?,10
按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜. 所以
k(0.6)k(0.4)10?k?0.6331 p{甲获胜} =p{X?6}??C10k?610若乙获胜， 则甲赢棋的盘数X?4，即 p{乙获胜}?p{X?4}??Ck?04k10(0.6)k(0.4)10?k?0.1662.
事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相
5(0.6)5(0.4)5?0.2007. 当的可能. 容易算出：p{不分胜负}?p{X?5}?C10由于 EX?np?10?0.6?6
甲平均赢得的盘数为6盘 .
例3：某厂需从外地购买12只集成电路. 已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路
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概率论与数理统计教案
不少于12只？
解：设需要购买n只，X表示这n只集成电路中合格品个数，则X~B(n,0.9)，按题意，要求事件“X?12”的概率不小于0.99，即
p{X?12}?k?12?Cnkn(0.9)k(0.1)n?k?0.99
可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只. 补充例题：
某柜台上有4个售货员, 并预备了两个台秤, 若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤, 求一天10小时内, 平均有多少时间台秤不够用.
解: 每个时刻构成一n=4的贝努里试验, 且p=15/60=0.25, 因此, 设X为每个时刻要用秤的售货员数, 则X~B(4, 0.25), 当X>2时, 台秤不够用. 因此每时刻台秤不够用的概率为
3P(X?2)?C4?0.253?0.75?0.254?0.0508
因此10个小时内平均有0.0508×10=0.508个小时台秤不够用.（32分） （3）练习P6520对超几何分布进行说明。其与二项分布的关系。（10分） 4．超几何分布：
假设100个产品中有10个次品，从中任取5个产品，求其中次品数X的分布列.
（4）说明泊松分布的分布列、性质及数字特征和分布列中参数的意义，了解泊松分布表的应用；（例4、例5）（25分） 5．泊松分布：
若一个随机变量X的概率分布为
k!其中??0为参数，则称X服从参数为?的泊松分布，记作X~p(?)。
数学期望EX??，方差DX??。 泊松分布的应用： 例4：某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可以用??10的泊松分布来描述. 为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底应存有多少件该种商品？（假设只在月底进货）.
解：设该商店每月的销售量为X，据题意X~p(10). 设月底存货为a件，则当X?a时就不会脱销. 即求a使得
p{X?k}??ke??，k = 0，1，2，?
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