线性代数第五章答案解析

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第五章 相似矩阵及二次型

1? 试用施密特法把下列向量组正交化?

?111? (1)(a1, a2, a3)??124??

?139??? 解 根据施密特正交化方法?

?1??? b1?a1?1? ?1????1?[b1,a2]? b2?a2?b1??0??

?1?[b1,b1]???1?[b1,a3][b2,a3]1 b3?a3?b1?b2???2??

[b1,b1][b2,b2]3?1????11?1??0?11? (2)(a1, a2, a3)???

?101??110??? 解 根据施密特正交化方法?

?1??0? b1?a1???1??

?1????1???3?[b1,a2]1 b2?a2?b1????

[b1,b1]3?2??1?* *

??1??3?[b1,a3][b2,a3]1 b3?a3?b1?b2????

[b1,b1][b2,b2]5?3??4? 2? 下列矩阵是不是正交阵:

?1?11??23??1?11?; (1)??2?112??1???32? 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵?

?1?8?4??999??814???? (2)??99??9447?????999?解 该方阵每一个行向量均是单位向量? 且两两正交? 故为正交阵?

3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵? 证明 因为

HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T ?E?2(xT)TxT?E?2xxT? 所以H是对称矩阵? 因为

HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT) ?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT) ?E?4xxT?4x(xTx)xT ?E?4xxT?4xxT

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?E? 所以H是正交矩阵?

4? 设A与B都是n阶正交阵? 证明AB也是正交阵? 证明 因为A? B是n阶正交阵? 故A?1?AT? B?1?BT?

(AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E?

故AB也是正交阵?

5? 求下列矩阵的特征值和特征向量:

?2?12? (1)?5?33?;

??10?2???2???12 解 |A??E|?5?3??3??(??1)3?

?10?2??故A的特征值为???1(三重)? 对于特征值???1? 由

?3?12??101?A?E??5?23?~?011??

??10?1??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 1? ?1)T? 向量p1就是对应于特征值???1的特征值向量.

?123?

(2)?213?;

?336???

1??23 解 |A??E|?21??3???(??1)(??9)?

336??* *

故A的特征值为?1?0? ?2??1? ?3?9? 对于特征值?1?0? 由

?123??123?A??213?~?011??

?336??000?????得方程Ax?0的基础解系p1?(?1? ?1? 1)T? 向量p1是对应于特征值?1?0的特征值向量. 对于特征值?2??1, 由

?223??223?A?E??223?~?001??

?337??000?????得方程(A?E)x?0的基础解系p2?(?1? 1? 0)T? 向量p2就是对应于特征值?2??1的特征值向量?

对于特征值?3?9? 由

11?1???823????1??A?9E?2?83~?01??? ?33?3??2???000??得方程(A?9E)x?0的基础解系p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量p3就是对应于特征值?3?9的特征值向量?

?0?0 (3)?0?1?001001001?0?.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 0?0??0??1001??010?(??1)2(??1)2? 0????0 解 |A??E|?01故A的特征值为?1??2??1? ?3??4?1? 对于特征值?1??2??1? 由

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?1?0A?E??0?1?011001101??10?~?00??0?1???0010001001?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量p1和p2是对应于特征值?1??2??1的线性无关特征值向量? 对于特征值?3??4?1? 由

??1?0A?E??0?1?0?11001?101??10?~?00??0?0?1???01000?100?1?0?? 0?0??得方程(A?E)x?0的基础解系p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量p3和p4是对应于特征值?3??4?1的线性无关特征值向量?

6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同? 证明 因为

|AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|?

所以AT与A的特征多项式相同? 从而AT与A的特征值相同?

7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量?

证明 设R(A)?r? R(B)?t? 则r?t?n?

若a1? a2? ???? an?r是齐次方程组Ax?0的基础解系? 显然它们是A的对应于特征值??0的线性无关的特征向量?

类似地? 设b1? b2? ???? bn?t是齐次方程组Bx?0的基础解系? 则它们是B的对应于特征值??0的线性无关的特征向量?

由于(n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必线性相关? 于是有不全为0的数k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln?t? 使

k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r?0?