单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
74. （2007河南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过点A （6，0）和B（0，
4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5. （2010黑龙江大兴安岭）如图，在平面直角坐标系中，函数y?2x?12的图象分
别交x轴、y轴于A、B两点．过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点P的坐标； （3）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
三、测试提高
yB1. （2009辽宁抚顺）已知：如图所示，关于x的抛物线 y=ax2+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点
C．
M（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； AOx（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并
求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
第六讲 中考压轴题十大类型之
线段之间的关系
1. （2010天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、
B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA?3，OB?4，D为边OB的中点． （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
y B Ey C 如图，可以作点D关于B x温馨提示：EF?轴2C （Ⅱ）若、F为边OA上的两个动点，且时，求点、F的坐标． 的对称点D?，连接CD?与x轴交于点D E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你D E只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标，当四边形CDEF的周长最小
2. （2011四川广安）四边形A x ABCD是直角梯形，E A x O O BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标
0） 2）分别是A（?1 ，，B（?1 ，，D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y?ax2?bx?c经过点D、M、N． （1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．
3. （2011四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(?4，4)，将点B
绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，顶点在坐标原点的抛物线经过点B． (1) 求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2) 抛物线上有一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2?d1?1；
(3) 在(2)的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．
4. （2011福建福州）已知，如图，二次函数y?ax2?2ax?3a(a?0)图象的顶点为H，
与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l:y?（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式；
3x?3对称． 3（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．
5. （2009湖南郴州） 如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（－
2，－1），且P（－1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MOy上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平
Q 行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．B 图1 图2 OAxMC6. （2010江苏苏州）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点
P的坐标分别为（3，0）、（0，4）． （1）求抛物线的解析式；
（2）设M?m，n?是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点
PA2?PB2?PM2?28是否总成立？请说明理由． P，
三、测试提高
1. （2009浙江舟山）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点
C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
第七讲 中考压轴题
定值问题
1. （2011天津）已知抛物
y1?12x?x?1，点F(1，2A 8 6 y 十大类型之
线
C14 2 D -4 C -2 O -2 -4 2 4 x B ：
1)． 坐标；
轴的交点为A，线C1于点B，求
（Ⅰ）求抛物线C1的顶点（Ⅱ）①若抛物线C1与y连接AF，并延长交抛物证：
11??2；AFBF
②抛物线C1上任意一点P（xP，yP）（0?xP?1），连接PF，并延长交抛物
线C1于点Q（xQ，yQ），试判断
11??2是否成立？请说明理由； PFQF（Ⅲ）将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：
1y2?(x?h)2，若2?x?m时，y2?x恒成立，求m的最大值．
22. （2009湖南株洲）如图，已知△ABC为直角三角形，?ACB?90?，AC?BC，
点A、C在x轴上，点B坐标（m?0），线段AB与y轴相
P（1，0）为顶点的抛物线
为（3，m）交于点D，以过点B、D． 示）；
（1）求点A的坐标（用m表（2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动
点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：
FC(AC?EC)为定值．
3. （2008山东济南）已知：抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)，顶点C (1，?3)，与x轴交
于A、B两点，A(?1，0)． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点（P与A、B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP ，FG分别与边，请判断．AE、BE相交于点F、G（F与A、E不重合，G与E、B不重合）
PAEF是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ?PBEGPMPN是否为定值 若是，请求出此定值；?BEAD4. （2011湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条
抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作； BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标．．．（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
5. （2009湖北武汉）如图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A??1，0?、C?0，4?两点，
与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D?m,m?1?在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45?，求点P的坐标．
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