邵阳市二中2020届高三第四次月考试题
数 学（理科）
(内容：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、直线和圆)
满分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．集合A?{x|(x?1)(x?2)?0}，集合B?{x|lgx?0}，则AIB=（ ） A．(0,1)
B．(0,1]
C．(?2,1]
D．(?2,1)
2．命题“?x?(0,),sinx?cosx?1”的否定是（ ）
?2A．?x?(0,),sinx?cosx?1
?2
B．?x?(0,),sinx?cosx?1
?2C．?x0?(0,),sinx0?cosx0?1
?2 D．?x0?(0,),sinx0?cosx0?1
?23．设p:“lgx,lg(x?1),lg(x?3)成等差数列”，q:“2是q的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
x?18?,2x,3成等比数列”，则p 3 B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
4．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b?2,B?A．23?2
B．3?1
?6,C??4，则△ABC的面积为（ ）
D．3?1
C．23?2
5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，OA=6，
uuuuruuur则MC?ND=（ ）
A．8 B．11 C．13 D．26
22
6．已知直线2x+(y-3)m-4=0恒过定点P，若点P平分圆x+y-2x-4y-4=0的弦MN，则MN所在直线的方程是 （ ）
A．x+y-5=0 B. x+y-3=o C x-y-1=0 D. x-y+1=0
?x?y?4≥0y?7.已知?2x?3y?9≥0，则的最小值为（ ）
x?2?5x?y?10≤0? A．
5855 B． C． D． 1313738．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，则过正四面体的一条棱和该球球心的平面截正四面体所得截面三角形的面积是（ ）
A.23 B. C.2 D.3 229．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别与边AB、AC所在直线交于不同的两
ruuuruuuruuuuruuu点M、N，若向量AB?mAM，AC?nAN(m,n?R)，则mn的最大值为（ ） A．
1 4 B．
1 2 C．1 D．2
10．已知数列{an}中，an?0，a1?1，an?2?1，a100?a96，则a2016?a3=（ ） an?151?5?1?55 B． C． D． 222211． 直线x?t（t?0）与函数f(x)?x2?1，g(x)?lnx的图象分别交于A、B两点，
A．当|AB| 最小时，t值是
A． 1
x21B．2 C． 2
3D． 3
12．已知函数f(x)?e?1(x?0)与g(x)?ln(x?a)图象上存在关于y轴对称的点，则2） C．（﹣
，
） D．（﹣
，
）
实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，
） B．（﹣∞，
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上的相应横线上) 13. 已知命题P：函数f(x)=x+mx+mx﹣m既有极大值又有极小值；命题Q：?x∈R，
3
2
x+2mx+1≥0，如果“┑P∨┑Q”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
2
1111211nn2n14．数列{an}满足a1?()a2?????()an??,n?N*，当an取得最大值时，
99922n=_______。
22
15.已知圆C的方程为x+y-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，
以1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 。
16．对于三次函数f(x)=ax+bx+cx+d（a≠0），定义f??(x)是y=f（x）的导函数
3
2
y?f?(x)的导函数，若方程f??(x)=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数
y=f（x）的“拐点”．可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．请你根据这一结论判断下列命题： ①存在有两个及两个以上对称中心的三次函数；
②函数f(x)=x﹣3x﹣3x+5的对称中心也是函数y=tan
32
x的一个对称中心；
③存在三次函数h（x）方程h?(x)=0有实数解x0，且点（x0，h（x0））为函数y=h（x）的对称中心；
④若函数g（x）=x﹣x﹣则g（
）+g（
3
2
，
）+…+g（
）=﹣1006.5
）+g（
其中正确命题的序号为 （把所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分10分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
x+8（0＜x
≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18.（本小题满分11分） 如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥ 平面BCD，AB⊥ 平面BCD，AB＝23. （Ⅰ）求证：AB∥平面MCD；
（Ⅱ）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
19．（本小题满分11分）已知函数f(x)?sin(2x?（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f(A)??6)?2cosx?1(x?R)
2第18题图
1，b,a,c成等差数列，且2uuuruuurAB?AC?9，求a的值.
?20、（本小题满分12分）已知数列?an?中，a1?1，且点??an,an?1?（n??）在直线
x?y?1?0上．
?1?求数列?an?的通项公式； ?2?若函数f?n??n?a的最小值；
1?1111??????（n??，且n?2），求函数f?n?n?a2n?a3n?an?3?设bn?1，Sn表示数列?bn?的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g?n?，使得anS1?S2?S3?????Sn?1??Sn?1??g?n?对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，
写出g?n?的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
21．（本小题满分13分）设关于x的方程x﹣mx﹣1=0有两个实根?,?(???)，
2
函数f(x)=
．
（Ⅰ）求证：不论m取何值，总有?f(?)?1
（Ⅱ）判断f（x）在区间(?,?)的单调性，并加以证明； （Ⅲ）若λ，μ均为正实数，证明：
22.（本小题满分13分）已知函数f?x??x?alnx，g?x???．
?1?若a?1，求函数f?x?在?2,f?2??处的切线方程；
?2?设函数h?x??f?x??g?x?，求函数h?x?的单调区间；
?3?若在?1,e?（e?2.718???）上存在一点x0，使得f?x0??g?x0?成立，求a的取值范围．
1?a（a?R）． x
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