f?x??2?1?cos2?x?sin2?x?12?sin2?x?cos2?x?2?????2?sin2?xcos?cos2?xsin??244??????2sin?2?x???24??由题设，函数f?x?的最小正周期是
2???，可得?，所以??2．
2?22??（2）由（1）知，f?x??2sin??4x???2．
4??当4x??4??2?2k?，即x??16???k?4x??k?Z?时，sin???取得最大值1，
4?2?所以函数f?x?的最大值是2??k???2，此时x的集合为?x|x??,k?Z?．
162??21.(实验班） 解：（1）?m?(a?c,a?b),n?(a?b,c)且m//n
?(a?c)c?(a?b)(a?b)?0,?a2?c2?b2?ac
222由余弦定理得：cosB?a?c?b?1 ,又?0?B???B?? …………6分
2ac23 (2)?a?1,b?3,由正弦定理得:a?b
sinAsinB13??sinAsin?3 ?sinA?1?a?b?A?B…………8分 2??)? …………10分 362?A??6?c???(A?B)???(???S?ABC?113 …………12分
ab??1?3?22213?22.(普通班）解：（1）QC?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??45??1．
131?g45又Q0?C?π，?C?3π．（2）QC?3?， ?AB边最大，即AB?17．
44又QtanA?tanB，A，B??0，?， ?角A最小，BC边为最小边．
??????sinA1?33417?π?tanA??，A?0，由?且，得，. 同理得sinB?sinA?cosA4???34217???sin2A?cos2A?1，?sinA由AB?BC得：BC?ABg?2．所以，最小边BC?sinCsinAsinC2．
?S?ABC?1133432. AB?BC?sinB??17??2234422.（实验班）解：（1）在?OMP中，?OPM?45?，OM?5，OP?22，
由余弦定理得，OM2?OP2?MP2?2?OP?MP?cos45?， 得MP2?4MP?3?0， 解得MP?1或MP?3． （2）设?POM??，0????60?， 在?OMP中，由正弦定理，得所以OM?OMOP， ?sin?OPMsin?OMPOPsin45?OPsin45?， 同理ON?
sin?45????sin?75????故S?OMN11OP2sin245? ??OM?ON?sin?MON??24sin?45????sin?75????1?3?1sin?45?????sin?45?????cos?45?????2?2?
?1 ?sin?45????sin?45????30??1?321sin?45?????sin?45????cos?45????22
?1311?cos90??2???????4sin?90??2??4?1331?sin2??cos2?444
??131?sin?2??30??42 因为0????60?，30??2??30??150?，
所以当??30?时，sin?2??30??的最大值为1，此时?OMN的面积取到最小值． 即2?POM?30?时，?OMN的面积的最小值为8?43．
高一下学期期末数学试卷
一、选择题
1．C 2．A 3．A 4．C S．D 6．B 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．A 二、填空题 13．an＝2×315．
n－1
14、x＝3和8x－15y＋51＝0 16、[－1，1)?(1，3)
1 6三、解答题 17．解：
△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，D在线段BC上， sinC＝
233＝，故C＝60° 422
2
2
又由余弦定理知：(21)＝4＋a－2×4×a×即a－4a－5＝0 ∴a＝5或a＝－1(舍去) 因此所求角C＝60°，a＝5 18．解：
|AC|＝10，直线AC方程为：x－3y＋2＝0
2
1 2根据点到直线的距离公式，点B(m，m)到直线AC之距d为：d＝
m?3m?210
∴S△ABC＝
111321|AC|d＝|m－3m＋2|＝|(m－)－|
24222又∵1＜m＜4 ∴1＜m＜2 ∴当m＝
39，即m＝时，S最大． 24故当m＝
9时，△ABC面积最大． 419．(1)证明：
∵底面ABCD是正方形 ∴AC⊥BD
又PD⊥底面ABCD?PD⊥AC ∴AC⊥面PDB ∵AC?面AEC ∴面AEC⊥面PDB
(2)解：设AC与BD交于O点，连接EO 则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角 ∵E、O为中点 ∴EO＝
1PD 2∴EO⊥AO
∴在Rt△AEO中 OE＝
21PD＝AB＝AO
22∴∠AEO＝45° 即AE与面PDB所成角的大小为45°
20．解：
(1)当直线l过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零． ∴a＝2，方程为3x＋y＝0 若a≠2，则
a?2＝a－2，a＋1＝1，a＝0 a?1此时方程为x＋y＋2＝0 ∴所求a值为0或2
(2)∵直线过原点时，y＝－3x经过第二象限，不合题意．
?a?2?0?a?1?0?直线不过原点时，?或?a?2
?0?a?2?0??a?1∴a≤－1
21．解：
(1)由等差数列的性质得：a2＋a7＝a3＋a6
∴??a3a6?55?a3?5?a3?11，解得：?或?
?a3?a6?16?a6?11?a6?5∵{an}的公差大于0 ∴{an}单增数列 ∴a3＝5，a6＝11 ∴公差d＝
a6?a311?5＝＝2 6?33b1 ∴b1＝2 2bbnb1b2＋2＋3＋…＋ 3n2222∴an＝a3＋(n－3)d＝2n－1 (2)当n＝1时，a1＝
当n≥2时，an＝
an－1＝
bn?1bb1b2＋2＋3＋…＋ 22322n?1bn 2n两式相减得：an－a n－1＝∴bn＝2
n＋1
，n≥2
∴bn＝??2?2n?1n?1n?2，
∴当n＝1时，S1＝b1＝2
b2(1?2n?1)n＋2
当n≥2时，Sn＝b1＋b2＋b3＋……＋bn＝2＋＝2－6
1?222．(1)∵x＋y＋z＝1，
∴1＝(x＋y＋z)＝x＋y＋z＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x＋y＋z) ∴x＋y＋z≥
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 3(2)令F(x)＝f(x)－x，x1，x2是f(x)－x＝0的根， ∴F(x)＝a(x－x1)(x－x2) ∵0＜x＜x1＜x2＜
1 a∴x－x1＜0，x－x2＜0 a＞0 ∴F(x)＞0 即x＜f(x) 另一方面：
x1－f(x)＝x1－[x＋F(x)]＝x1－x－a(x－x1)(x－x2)＝(x1－x)[1＋a(x－x2)] ∵0＜x＜x1＜x2＜
1 a∴x1－x＞0 1＋a(x－x2)＝1＋a x－ax2＞1－ax2＞0 ∴x1－f(x)＞0 ∴f(x)＜x1 综上可得：x＜f(x)＜x1
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