课时作业(三十五)
1．下列不等式证明过程正确的是( ) A．若a，b∈R，则＋≥2
baabba·＝2 abB．若x>0，y>0，则lgx＋lgy≥2lgx·lgy 4
C．若x<0，则x＋≥－2
xx·＝－4 xx－x4
D．若x<0，则2＋2>22·2＝2 答案 D
解析 ∵x<0，∴2∈(0,1)，2>1， ∴2＋2>22·2＝2， ∴D正确，
而A、B首先不满足“一正”，C应当为“≤”． 2．函数y＝log2(x＋
1
＋5)(x>1)的最小值为( ) x－1
B．3 D．－4
x－xx－xx－xx－xA．－3 C．4 答案 B 解析 x＋≥2
11＋5＝(x－1)＋＋6 x－1x－1
1
x－1·＋6＝2＋6＝8，
x－1
1
即x＝2时取“＝”号． x－1
当且仅当x－1＝∴y＝log2(x＋
1
＋5)≥log28＝3. x－1
3．(2020·陕西文)设0 a＋b22 B．a a＋b22 C．a a＋ba＋b解析 代入a＝1，b＝2，则有0 a＋b2 ＝1.5 a＋b2 与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B. 4．(2020·衡水调研卷)已知函数g(x)＝2，且有g(a)g(b)＝2，若a>0且b>0，则ab的最大值为( ) 1A. 2C．2 答案 B 解析 ∵22＝2 aba＋bx1B. 4D．4 ＝2，∴a＋b＝1，ab≤( a＋b12 )＝，故选B. 24 5．(2020·东北三校模拟)已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an14 使得aman＝4a1，则＋的最小值为( ) mn3A. 2C.25 6 5B. 3D．不存在 答案 A 解析 由题意可知，a5q＝a5q＋2a5，化简得q－q－2＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝2，又由已知条件aman＝4a1，得a1q4 m－1 2 2 ·a1qn－1 ＝16a1，∴q2m＋n－2 14 ＝16＝2，所以m＋n＝6.所以＋ m14m＋n14mn1＝(＋)×＝×(5＋＋)≥×(5＋2nmn66nm6取“＝”． 4mn34mn×)＝，当且仅当＝，即n＝2m时nm2nm1a6．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( ) 8xA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 1a解析 令p：“a＝” q：“对任意的正数x,2x＋≥1” 8x1a1 若p成立，则a＝，则2x＋＝2x＋≥28x8x1 2x·＝1，即q成立，p?q； 8xB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12 若q成立，则2x－x＋a≥0恒成立，解得a≥，∴q?/p. 8∴p是q的充分不必要条件． 7．已知二次函数f(x)＝ax＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则为( ) 2 a＋1c＋1 ＋的最小值caA．4 C．8 答案 A B．42 D．82 解析 ∵f(x)＝ax＋2x＋c的值域为[0，＋∞)， 1 则由Δ＝0，a>0得c＝， 2 a1＋1 a＋1c＋1a＋1a112∴＋＝＋＝a＋a＋2＋ ca1aaaa1112 ＝(a＋2)＋(a＋)≥4(当且仅当a＝即a＝1时取等号)． aaa212 8．(2020·潍坊模拟)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m＋2m恒成立，则实数mxy的取值范围是( ) A．m≥4或m≤－2 C．－2 21 解析 ∵x>0，y>0，且＋＝1， B．m≥2或m≤－4 D．－4 xy214yx∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋24yxyxyxx4yx22·＝8，当且仅当＝，即4y＝x，yxyx＝2y时取等号，又＋＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成 xy立，只需(x＋2y)min>m＋2m恒成立，即8>m＋2m，解得－4 9．(2020·深圳第一次调研)已知所有的点An(n，an)(n∈N)都在函数y＝a(a>0，a≠1)的图像上，则a3＋a7与2a5的大小关系是( ) A．a3＋a7>2a5 B．a3＋a7<2a5 C．a3＋a7＝2a5 D．a3＋a7与2a5的大小关系与a的值有关 答案 A 解析 因为所有的点An(n，an)(n∈N)都在函数y＝a(a>0，a≠1)的图像上，所以有an＝a，故a3＋a7＝a＋a，由基本不等式得：a＋a>2a·a＝2a(因为a>0，a≠1，从而等号不成立)，又2a5＝2a，故选A. 10．(2020·金华十校模拟)有一批材料可以建成200 m长的围墙，若用此批材料在一边 5 * * 2 2 21 xxn3737375 靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)． 答案 2500 m 200－x200－x1 解析 设所围场地的长为x，则宽为，其中0 444( 2 x＋200－x2 )＝2500 m，等号当且仅当x＝100时成立． 22 11．设x＞0，y＞0，且(x－1)(y－1)≥2，则xy的取值范围为__________． 答案 [3＋22，＋∞) 解析 (x－1)(y－1)＝xy－(x＋y)＋1≤xy－2xy＋1， 又(x－1)(y－1)≥2，即xy－2xy＋1≥2， ∴xy≥2＋1，∴xy≥3＋22. 1 12．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋的最小值为________． ab答案 17 4 解析 ab≤( a＋b12 )＝， 24 1 当且仅当a＝b＝时取等号． 2 y＝x＋在x∈(0，]上为减函数． x4 1117∴ab＋的最小值为＋4＝. ab44 13．(2020·山东文)已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为________． 34答案 3 解析 因为1＝＋≥234 ＋ 11 xyxyxy·＝234 xy＝12 xy，所以xy≤3，当且仅当＝，即x334 xy3 ＝，y＝2时取等号，故xy的最大值为3. 2 14．已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3ab，求使4a＋b≥c恒成立
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