2019年10月全国自考高等数学工本00023真题试题(含详解)

2019年10月全国自考高等数学(工本)00023试题及其详解

一、单项选择题：本大题共5小题。每小题3分。共l5分。在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。

1.在空间直角坐标系中，点(0,0,?2)在

A.x轴上 B.y轴上 C.z轴上 D.Oxy平面上 解：答案是C 2.函数f(x,y)?x?y在点(0,0)处

A.连续 B.间断 C.偏导数存在 D.可微 解：答案是B.

3.已知cosxcosydx?sinxsinydy是某个函数u(x,y)的全微分，则u(x,y)? A. sinycosx B. sinxsiny C. ?sinxcosy D. sinxcosy 解：D选项，d(sinxcosy)=cosxcosydx-sinxsinydy.答案是D. 4.下列微分方程中，属于一阶线性非齐次微分方程的是 A.3ydy?(x?y)dx B.xdy?(x?2y)dx C.

2dydy?xsiny?19 D.?xy2?9 dxdx解：B选项，对xdy?(x?2y)dx变形，得5.下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是

2dy2?y?x.答案是B. dxx(?1)n?1A. ? B. n3n?1?(?1)n(?1)2 C. ? D. ?nn?1n?1?nn?(?1)nn ?n?12n?1?解：答案是A.

二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。

6.与向量???2,0,2同方向的单位向量是 . ??1解：=?2???2?2??2??2?,0,.答案是2,0,2??,0,??. ?2222?????????7.设函数f(x?y,x?y)?x?y，则f(x,y)? . 22?u?v??u?v?u?v. 解：令u=x+y,v=x-y,则f(u,v)???????2?2??2?2222x2?y2x2?y2所以f(x,y)?.答案是.

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8.设积分区域D:x?y?9，则二重积分为 . 解：答案是

22??Df(x2?y2)dxdy在极坐标下的二次积分

?2?0d??f(r2)rdr.

039.微分方程y???(x?1)y??6y?12的特解y? . 解：简化微分方程，令y???0， 则(x?1)y??6y?12， 解得

6666dx?dx??dx?dx??12121???x?1x?1x?1x?1?2(x?1)6?C?e?Cee?C?y=e=??????6??=x?1x?1(x?1)?????*2?C. 6(x?1)因为y???0，所以C=0. 故取特解y?2.答案是2.

*(?1)n?1sinnx，10.设函数f(x)是周期为2?的周期函数，傅里叶级数为??，则f(x)的

2n?1n??傅里叶系数a0? . 解：a0?π.答案是π.

三、计算题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分。

2x?y?z?19?0，求这两个平面的夹角. 11.已知平面?1：x?2y?z?2?0和平面?2：解：由题意，得平面?1的法向量为n1??1,2,?1?，?2的法向量为n2??2,1,1?. 设?1与?2的夹角为θ， 则cos??n1?n2n1?n2?1?2?2?1?(?1)?112?22?(?1)2?22?12?12?1， 2所以θ=

?即为这两个平面的夹角. 3?z. ?y2

12.设函数z?lnx2?y2，求

解：由z?ln1x2?y2?ln(x2?y2)，

2??z?111y22???ln(x?y)???2?2y?则. 222?y?22x?yx?y?y13.设函数z?xsin(x?2y)，求全微分dz. 解：由

?z??xsin(x?2y)??x?sin(x?2y)?xcos(x?2y)， ?x?z??xsin(x?2y)??y??2xcos(x?2y)， ?y则dz??z?zdx?dy??sin(x?2y)?xcos(x?2y)?dx?2xcos(x?2y)dy. ?x?yzy14.设方程x?z确定函数z?z(x,y)，求

?z. ?xx解：令F(x,y,z)= x?z，则Fx?x?zzy?zy???zxz?1，Fy??xz?zy???xzlnx?yzy?1，

zFx?zzxz?1zxz?1z2所以. ????z?y?1z?y?1?xFzxlnx?yzyz?xlnxxy?xz15.设函数f(x,y,z)?xy?yz?xz，求gradf(1,1,?1). 解：由

333fx(1,1,?1)??3x2y?z3?fy(1,1,?1)??x3?3y2z?fz(1,1,?1)??y3?3xz2?(1,1,?1)(1,1,?1)(1,1,?1)?2,??2, ?4则gradf(1,1,?1)??2,?2,4?. 16.计算二重积分

2y?1?x，其中积分区域D是由和x轴所围成的区域. (1?2x)dxdy??D解：(先考虑对称奇偶性化简)

??(1?2x)dxdy???dxdy?2?dx?DD011?x201141dy?2?(1?x2)dx?2(x?x3)?. 003317.计算对弧长的曲线积分

?C1?4x2ds，其中C是一段弧y?x2(0?x?1). 分析：①同类题2018.4,17②教材P149例1

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?Cf(x,y)ds??ba?dy?f[x,y(x)]1???dx

?dx?222?dy?dx?1?2xdx. 解：由C的方程为y=x2，则ds?1?????dx??所以

?C1?4xds??1?4x021213?14?1?4xdx???1?4x?dx??x?x??.

03?03?21218.计算对坐标的曲线积分

?C(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2?1)dy，其中C是由(0,0)到

(1,1)的直线段.

解：由(0,0)到(1,1)的直线段方程为y=x，则dy=dx.

11232234(6xy?y)dx?(6xy?3xy?1)dy?(8x?1)dx?2x?x??0?3. ?C?0所以

19.求微分方程

dyx?满足初始条件y(0)?1的特解. dxy解：对方程分离变量，得ydy?xdx，

两边积分，得

12121y?x?C， 22222则方程的通解为y?x?C. 因为y(0)?1，所以C=1.

故所求的特解为y?x?1，即y?20.求微分方程y???y?0的通解.

解：所给微分方程的特征方程为r?1?0， 解得特征根为r1??1,r2?1. 所以所求的通解为y?C1e21.判断无穷级数

?x22x2?1.

2?C2ex，其中C1,C2为任意常数.

?2n?1?nn的敛散性.

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