【解析】 设M,N分别为AC,AP的中点,因为BA＝BP＝BC,PD＝DA,所以点B在平面PAC上的射影为△PAC的外心O,且点O在直线ND上.又因为AB＝BC＝2,∠ABC＝120°,所以AC＝23,
图10
BO＝AB2－OA2≤AB2－AM2＝1, 当且仅当点O与点M重合时取到等号.
设AD＝x,∠PDC＝θ,因为AC＝23,所以DC＝23－x, 11则S△PDC＝x·(23－x)sin θ≤x·(23－x)
22123?23
≤?＝, 2?2?2
当且仅当点M与点D重合时取到等号. 因此,四面体P－BCD的体积为 1131
VP－BCD＝S△PCD·OB≤××1＝,
3322
此时点O,M,D重合,即点D为AC的中点,且平面PBD与平面ABC垂直相交于BD.
总之,解立体几何动态问题的过程实质是数学建模的过程,是创新的过程.方程、函数和图形变换是基础,因此夯实基础是解决此类问题的关键.化整为零的思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等是解决立体几何动态问题的最佳策略.真正破解动态立体几何问题,需要整体把握动态变化过程,更需要深厚的空间想象之内功.如果说招式是术,那么内功就是修行,即不断积累知识与技巧、经验与经历.
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