1.1 不等式
2.基本不等式
练习 xy1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3＋27＋1的最小值是( ) A．339
B．1?22
C．6
D．7
2．若x，y＞0，且x＋2y＝3，则
11?的最小值是( ) xy
bA．2 B.
3 2a
C．1?22 D．3?22 33．设a＞0，b＞0.若3是3与3的等比中项，则A．8
B．4
11?的最小值为( ) ab1C．1 D.
44．已知不等式(x?y)(?1xa)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为y( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处 C．3千米处 D．2千米处
6．(2010山东高考，理14)若对任意x＞0，
x≤a恒成立，则a的取值范围
x2?3x?1是________．
7．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则
12?的最小值为________． mnab?＝1，x＋yxy8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 9．已知a，b，x，y∈R＋，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，
的最小值为18，求a，b.
10．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水
2
中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m，问当a，b各为多少时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A，B孔的面积忽略不计)
1
2
参考答案
1. 答案：D 3＋27＋1＝3＋3＋1≥23x?33y?1＝23x?3y?1＝2×3＋1＝7，当
xyx3y且仅当x＝3y时，等号成立．
2. 答案：C
11x?2y1112yx12yx(?)＝(1??＝??2)≥?(3?2?)＝3xyxy3xy3xy1?22x2y，当且仅当＝时，等号成立． 3yx23．答案：B ∵3是3与3的等比中项，∴(3)＝3·3，
abab即3＝3此时立．
a＋b，∴a＋b＝1.
11a?ba?bba1＝2?(?)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成?＝?ababab21xaaxyy)＝1?a??≥1?a?2a＝(a?1)2，当且仅当yyxx4. 答案：B (x?y)(?＝a时，等号成立．
∵(x?y)(?1xa)≥9对任意正实数x，y恒成立， y2∴需(a?1)≥9.∴a≥4.
5. 答案：A 设仓库到车站的距离为x，由已知得，y1＝
20， xy2＝0.8x.
费用之和y＝y1＋y2＝0.8x?当且仅当0.8x＝
2020≥20.8x?＝8.
xx20， x即x＝5时等号成立，故选A.
x11
＝.而≥2， x?21x?3x?1x??3xx
111
∴的最大值为，∴a≥.
155x??3x
6. 答案：[,??) a≥
157. 答案：8 函数y＝loga(x＋3)－1恒过定点A(－2，－1)，又∵点A在直线mx＋ny 3
＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1，则(122m?n4m?2n＝2?)×(2m＋n)＝?mnmn＋
nmnm?4?＝4＋4＝8. ＋4·＋2≥4＋2mnmn8. 答案：[9，＋∞) 令ab＝t(t＞0)，则
由ab＝a＋b＋3≥2ab?3，得t≥2t＋3，即t－2t－3≥0.
2
2
解得t≥3或t≤－1(不合题意)．
∴ab≥3.∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号． 9. 解：x＋y＝(x?y)(?axb) y＝a＋b＋
bxay＋≥a＋b＋2ab yx2＝(a?b)，
当且仅当
bxay＝时取等号． yx2又(x＋y)min＝(a?b)＝18，
即a＋b＋2ab＝18，① 又a＋b＝10，② 由①②可得??a?2,?a?8,
或?
?b?8?b?2.
k.又由于箱体材料多少的限制，a，b之间应有ab10．分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y.由题意y与ab成反比，又设比例系数为k，则y＝
一定的关系式，即2×2b＋2ab＋2a＝60，因此该题的数学模型是：已知ab＋a＋2b＝30，a＞0，b＞0，求a，b为何值时，y＝
k最小． abk，其中k为比例系数(k＞ab解法一：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y＝0)．又据题设有2×2b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)．
∴b＝
30?a(由a＞0，b＞0可得a＜30)． 2?a 4
∴y＝
kk＝. ab30a?a22?a令t＝a＋2(t＞0)，则a＝t－2.
30a?a230(t?2)?(t?2)234t?t2?6464从而＝＝＝34?(t?)，
tt2?at∴y＝
k≥abk34?2t?64t＝
k. 18当且仅当t＝
6464，即a＋2＝时取等号，
a?2t∴a＝6.
由a＝6可得b＝3.
综上所述：当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小． 解法二：设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝0，要求y的最小值，必须求出ab的最大值．
依题设2×2b＋2ab＋2a＝60， 即ab＋a＋2b＝30(a＞0，b＞0)．
∵a＋2b≥22ab (当且仅当a＝2b时取等号)， ∴ab＋22ab≤30，可解得0＜ab≤18.
由a＝2b及ab＋a＋2b＝30可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取最大值，从而y值最小，即a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
k，其中k为比例系数，k＞ab 5
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