一、一元二次方程
1、求一元二次方程的根 例1：求下列方程的根：
(1)x2?2x?3?0；(2)x2?2x?1?0；(3)x2?2x?3?0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。
综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相ax2＋bx＋c＝0等的实数根x1,2＝
?b?b2?4ac；
2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
练习：求下列方程的根
b； 2a（1）x2－3x－1＝0；（2）x2－3x＋3＝0；（3）x2－6x＋9＝0
2、韦达定理
韦达定理：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1,x2，那么
bcx1+x2＝?， x1?x2＝
aa2例2已知方程5x?kx?6?0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，
再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值。
解法1：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7。
3所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－
563解法2：设方程的另一个根为x2，则 2x2＝－，∴x2＝－。
553k3由（－）＋2＝－，得 k＝－7。所以，方程的另一个根为－，
555k的值为－7。
变式2已知关于x的方程x＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是
2例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数。也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解。
（1）?x?y?4解法一：设这两个数分别是x，y，则? 解得： ∴
（2）?xy?-12?x1??2,?x2?6, ，因此，这两个数是－2和6。 ???y1?6,?y2??2.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根。 解这个方程，得x1＝－2，x2＝6。 所以，这两个数是－2和6。
说明：从上面两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷。
11变式3 若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则?＝
x1x2二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象和性质 例4 画出二次函数y?x2?x?6图象，回答下列问题：
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
说出对称轴和顶点坐标； 求出图象与x轴的交点坐标；
观察随着x的增大，函数值y如何变化？
观察图象，当x在何范围取值时，函数值y>0? 判断该函数是否有最大值最小值，在何处取得？
若给x一个范围，比如?3?x?2时，函数有无最大值最小值？
2练习 研究二次函数y??x?2x?3的图像，说出它的特点。
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