2019年山东省青岛市李沧区中考数学一模试卷(解析版)

∴PA＝PQ， ∵PD⊥AC， ∴AD＝DQ， ∵点Q和点C重合， ∴AD+DQ＝AC， ∴2×

t＝2

，

∴t＝1；

（3）当1＜t＜2时，如图2， CQ＝AQ﹣AC＝2AD﹣AC＝2

t﹣2

＝2

（t﹣1），

在Rt△CEQ中，∠CQE＝30°， ∴CE＝CQ?tan∠CQE＝2∴S＝S△PDQ﹣S△ECQ＝×

（t﹣1）×t×t﹣×2

＝2（t﹣1），

（t﹣1）×2（t﹣1）＝﹣

t2+4

t﹣2

，

（4）当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，如图3， ∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2， ∵∠A＝∠AQP＝30°， ∴∠FPG＝60°， ∴∠PFG＝30°， ∴PF＝2PG＝2t， ∴AP+PF＝2t+2t＝2， ∴t＝；

当PQ的垂直平分线过AC的中点M时，如图4， ∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝在Rt△NMQ中，NQ＝∵AN+NQ＝AQ， ∴

+

t＝2

t，

，QM＝PQ＝AP＝t， ＝

t，

∴t＝，当PQ的垂直平分线过BC的中点时，如图5， ∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°，

∵∠ABC＝60°， ∴∠BFH＝30°＝∠H， ∴BH＝BF＝1，

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t， ∴AH＝AP+PH＝AB+BH， ∴2t+2t＝5， ∴t＝，

即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为秒或秒或秒．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，正确作出图形是解本题的关键．