第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
[基础题组练]
??x－3y＋6≤0，
1．不等式组?表示的平面区域是( )
?x－y＋2>0?
解析：选C.用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C.
2．设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，则( ) A．对任意实数a，(2，1)∈A B．对任意实数a，(2，1)?A C．当且仅当a<0时，(2，1)?A 3
D．当且仅当a≤时，(2，1)?A
2
??2a＋1>4，33
解析：选D.若(2，1)∈A，则?解得a>，所以当且仅当a≤时，(2，1)?A，
22?2－a≤2，?
故选D.
3．(2019·高考北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( ) A．－7 C．5
B．1 D．7
x≤1－y，?－x≤1－y，????|x|≤1－y，?
解析：选C.令z＝3x＋y，画出约束条件?即?x≥0，或?x<0，表
?y≥－1，????y≥－1?y≥－1
示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线过点C(2，－1)时，z＝3x＋y取得最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.
1
y≤2??
4．(2020·郑州市第二次质量预测)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥1，则目标函数z??x－y≤1
?1?＝??
?3?
3x＋y的最大值为( )
11
3
?1?A.?? ?3?
C．3
?1?B.?? ?3?
D．4
3x＋y，设u＝3x＋y，欲求z?1?解析：选C.可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝???3??1?＝???3?
3x＋y的最大值，等价于求u＝3x＋y的最小值．u＝3x＋y可化为y＝－3x＋u，该直线
的纵截距为u，作出直线y＝－3x，并平移，当直线y＝－3x＋u经过点B(－1，2)时，纵截
?1?距u取得最小值umin＝3×(－1)＋2＝－1，所以z＝???3?
C.
3x＋y1?－1?的最大值zmax＝??＝3.故选
?3?
2x－y＋2≥0??22
5．(2020·洛阳市统考)如果点P(x，y)满足?x－2y＋1≤0，点Q在曲线x＋(y＋2)＝
??x＋y－2≤01上，则|PQ|的取值范围是( )
A．[5－1，10－1] C．[10－1，5]
B．[5－1，10＋1] D．[5－1，5]
解析：选D.作出点P满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q所在圆的圆心为M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM|的最小值为5，最大值为4，又圆M的半径为1，所以|PQ|的
2
取值范围是[5－1，5]，故选D.
x＋y－7≤0??
6．(2020·安徽省考试试题)设x，y满足约束条件?x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最小
??3x－y－5≥0
值为 ．
解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A时，目标函数z＝2x－y取得最小值．由?
??x＝3
得?，即A(3，4)，所以zmin＝2×3－4＝2. ?y＝4?
?3x－y－5＝0?
??x＋y－7＝0
，
法二：易知目标函数z＝2x－y??3x－y－5＝0
的最小值在可行域的顶点处取得，由?得
?x＋y－7＝0?
?????x＝3?3x－y－5＝0??x＝2?x＋y－7＝0?x＝5
?，由?得?，由?得?，所以可行域的顶点坐标分别为?????y＝4x－3y＋1＝0y＝1x－3y＋1＝0y＝2?????
(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z的值为2，3，8，所以z的最小值为2.
答案：2
x－3y＋10≤0??y7．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x，y满足?x＋2≥0，则z＝的取值范
x??x＋2y－5≤0
围为 ．
3
解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝表示平面区域内的点与坐标原点O的连线的斜率．
yx
???x＋2y－5＝0?x＝－1?由，得 ?，即A(－1，3)． ?x－3y＋10＝0?y＝3??
????x＝－2由?，得 ?8??x－3y＋10＝0?y＝
?
x＝－2
3
8??，即B?－2，?.
3??
8
343
所以zmax＝kOB＝＝－，zmin＝kOA＝＝－3，
－23－14?y?所以z＝的取值范围为?－3，－?.
3?x?4??答案：?－3，－?
3??
y＞0??
8．已知x，y满足?x＋y＋1＜0，记点(x，y)对应的平面区域为P.
??3x＋y＋9＞0
(1)设z＝
y＋1
，求z的取值范围； x＋3
(2)过点(－5，1)的一束光线，射到x轴被反射后经过区域P，当反射光线所在直线l经过区域P内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l的方程．
解：平面区域如图中阴影部分所示，易得A，B，C三点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，0)，C(－1，0)．
(1)由z＝
y＋1
知z的值即是定点P(－3，－1)与区域内的点Q(x，y)连接的直线的斜率， x＋3
4
当直线过A(－4，3)时，z＝－4； 1
当直线过C(－1，0)时，z＝.
2
?1?故z的取值范围是(－∞，－4)∪?，＋∞?. ?2?
(2)过点(－5，1)的光线被x轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，
y－1（x＋3）
故直线l的方程是＝，即x－y＋4＝0.
（－1）－1（－5）＋3
[综合题组练]
x＋y－2x－2y＋1＝0，??
1．(2020·新疆第一次适应性检测)若点M(x，y)满足?1≤x≤2，则x＋y??0≤y≤2，
的取值集合是( )
A．[1，2＋2] C．[2＋2，4]
2
2
2
22
B．[1，3] D．[1，4]
2
解析：选A.x＋y－2x－2y＋1＝(x－1)＋(y－1)＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x＋y，则y＝－x＋z，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得|2－z|
到＝1?z＝2±2，易知2－2不符合题意，故z＝2＋2，所以x＋y的取值范围为
2[1，2＋2]．故选A.
x－y≥0，??
2．(应用型)(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x，y，m使不等式组?x－3y＋2≤0，与
??x＋y－6≤0
不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥0
B．m≤3
5
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