定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 【例10】把下列各式因式分解：
(1) 12x?5x?2
2
(2) 5x2?6xy?8y2
解：(1) 12x?5x?2?(3x?2)(4x?1)
2
34??2 1
(2) 5x?6xy?8y?(x?2y)(5x?4y)
22
1 2y5?4y
?说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．
12x?5x?2 （2）?4x?5x?1 （3）3x?10x?3 （4）?x?3x?18 练：（1）
【例11】因式分解：
(1) (x2?2x)2?7(x2?2x)?8 (2)x?2x?15?ax?5a
分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.
解：(1)原式?(x?2x?1)(x?2x?8)?(x?1)(x?2)(x?4). (2)
原
式
22222222?(x2?2x?15)?(ax?5a)?(x?3)(x?5)?a(x?5)?(x?5)(x?3?a).
练：（1）12m?7mn?n （2） 2x?ax?a?2
42242四、其它因式分解的方法
1．配方法
【例12】分解因式x?6x?16
解：x?6x?16?x?2?x?3?3?3?16?(x?3)?5
2222222?(x?3?5)(x?3?5)?(x?8)(x?2)
说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平
方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．
2．拆、添项法
【例13】分解因式x?3x?4
32 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．
解： x?3x?4?(x?1)?(3x?3)
3232?(x?1)(x2?x?1)?3(x?1)(x?1)?(x?1)[(x2?x?1)?3(x?1)]
12
?(x?1)(x2?4x?4)?(x?1)(x?2)2
说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将?3x拆成x2?4y2，将多项式分成两组(x3?x2)和?4x?4．
一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；
(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
22 A 组
1．把下列各式分解因式：
(1) a?27 (4) ?33练 习
(2) 8?m (5) 8xy?33
(3) ?27x?8 (6)
3
1313p?q 864341 12513313xy?c 216272．把下列各式分解因式：
(1) xy?x
23
23
(2) xn?3?xny3
232(3) a(m?n)?ab (4) y(x?2x)?y
23．把下列各式分解因式：
(1) x?3x?2 (4) x?6x?27
22(2) x?37x?36
222
(3)x?11x?26
(6) (a?b)?11(a?b)?28
22(5) m?4mn?5n
4．把下列各式分解因式：
(1) ax?10ax?16ax (2) a(4) x?7x?18
242543n?2?an?1b?6anb2 (3) (x2?2x)2?9
2
(5) 6x?7x?3
2(6) 8x?26xy?15y
222(7) 7(a?b)?5(a?b)?2 (8) (6x?7x)?25
5．把下列各式分解因式：
(1) 3ax?3ay?xy?y
22 (2) 8x?4x?2x?1 (3) 5x?15x?2xy?6y
32 13
(4) 4a?20ab?25b?36 (5) 4xy?1?4x2?y2 (6) ab?ab?ab?ab (7) x6?y6?2x3?1
(8) x2(x?1)?y(xy?x)
B 组
224322241．把下列各式分解因式：
(1) ab(c2?d2)?cd(a2?b2) (3) x?64 2．已知a?b?432
(2) x?4mx?8mn?4n
(5) x3?4xy2?2x2y?8y3
22(4) x?11x?31x?21
2,ab?2，求代数式a2b?2a2b2?ab2的值． 3533．证明：当n为大于2的整数时，n?5n?4n能被120整除．
32234．已知a?b?c?0，求证：a?ac?bc?abc?b?0．
第二讲 因式分解答案
A组
1．(a?3)(a2?3a?9),(2?m)(4?2m?m2),(2?3x)(4?6x?9x2),
?11211(2p?q)(4p2?2pq?q2),(2xy?)(4x2y2?xy?),(xy?2c)(x2y2?2xyc?4c2)64552521622n222．x(x?y)(y?xy?x),x(x?y)(x?xy?y),
a2(m?n?b)[(m?n)2?b(m?n)?b2],y2(x?1)2(x4?4x3?3x2?2x?1)
3．(x?2)(x?1),(x?36)(x?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3)
(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)
3n224．ax(x?2)(x?8),a(a?3b)(a?2b),(x?3)(x?1)(x?2x?3),(x?3)(x?3)(x?2)
(2x?3)(x3?1)x,(?2y2x)?(4y15a?),(b7?7a?2b?)(x?1),(x?221)x(?3x?5)(675．(x?y)(3a?y),(2x?1)(2x?1),(x?3)(5x?2y),(2a?5b?6)(2a?5b?6) (1?2x?y)(1?2x?y),ab(a?b)2(a?b),(x3?1?y3)(x3?1?y3),x(x?y)(x?y?1)．
B组
1．(bc?ad)(ac?bd),(x?4m?2n)(x?2n),(x?4x?8)(x?4x?8),
22 14
(x?1)x(?3)x(?2．
7x),?(2y2x)?(．y 2)28 33．n5?5n3?4n?(n?2)(n?1)n(n?1)(n?2) 4．a3?a2c?b2c?abc?b3?(a2?ab?b2)(a?b?c)
15
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