x f'(x) ??2,0? + ↗ 0 0 极大 ?0,1? - ↘ f(x) 因此f(0)必为最大值,∴f（0）?5因此b?5， Qf(?2)??16a?5,f(1)??a?5,?f(1)?f(?2)，
?x?2x?5. 即f(?2)??16a?5??11，∴a?1，∴ f(x）2（Ⅱ）∵f?(x)?3x?4x，∴f?(x）?tx?0等价于3x2?4x?tx?0，
32令g(t)?xt?3x?4x，则问题就是g(t)?0在t?[?1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，
2?3x2?5x?0?g(?1)?0为此只需?，即?2，
1)?0?g（?x?x?0 解得0?x?1，所以所求实数x的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子） （1）已知函数f(x)?23x?ax2?bx?c 3(Ⅰ) 若函数f(x)在x?1时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, 求
f(x)的解析式；
(Ⅱ) 当f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值时, 设点M(b?2,a?1)所在平
面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.
2解： (Ⅰ). 由f?(x)?2x?2ax?b, 函数f(x)在x?1时有极值 ,
∴ 2a?b?2?0 ∵ f(0)?1 ∴ c?1 又∵ f(x)在(0,1)处的切线与直线3x?y?0平行, ∴ f?(0)?b??3 故 a?∴ f(x)?1 22312x?x?3x?1 ……………………. 7分 322 (Ⅱ) 解法一: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,
?f?(0)?0?b?0??∴ ?f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,?f?(2)?0?4a?b?8?0???x?b?2y), 则 ?
?y?a?1?x?2?0a?y?1??∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0?
9
易得A(?2,30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2
2同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S 3四边形ABED∴ 所求一条直线L的方程为: x?0
另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为y?kx,它与AC,BC分别交于F、G, 则 k?0, S四边形DEGF?1
由 ??y?kx2 得点F的横坐标为: xF??
2k?1?2y?x?2?0?y?kx6由 ? 得点G的横坐标为: xG??
4k?14y?x?6?0?∴S四边形DEGF?S?OGE?S?OFD ???解得: k?13612??1??1即 16k2?2k?5?0
224k?122k?1151 或 k?? (舍去) 故这时直线方程为: y?x 2821综上,所求直线方程为: x?0或y?x .…………….………….12分
22(Ⅱ) 解法二: 由f?(x)?2x?2ax?b 及f(x)在x?(0,1)取得极大值且在x?(1,2)取得极小值,
?f?(0)?0?b?0??∴ ?f?(1)?0 即 ?2a?b?2?0 令M(x,?f?(2)?0?4a?b?8?0???x?b?2 y), 则 ?y?a?1??x?2?0?a?y?1?∴ ? ∴ ?2y?x?2?0 故点M所在平面区域S为如图△ABC,
?b?x?2?4y?x?6?0?易得A(?2,30), B(?2,?1), C(2,?2), D(0,?1), E(0,?), S?ABC?2
2同时DE为△ABC的中位线, S?DEC?1S ∴所求一条直线L的方程为: x?0 3四边形ABED1x, 设直线BO与AC交于H , 2另一种情况由于直线BO方程为: y?1?1?y?x由 ? 得直线L与AC交点为: H(?1,?) 22?2y?x?2?0? 10
∵ S?ABC?2, S?DEC?1111111??2?, S?ABH?S?ABO?S?AOH??2?1??2??
22222221x 232 ∴ 所求直线方程为: x?0 或y?3、（根的个数问题）已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。
（Ⅰ）求c、d的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知：f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b
（Ⅰ）由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且f??1?= 0
2
得??d?3?d?3 ???3a?2b?c?3a?2b?0?c?0f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5
（Ⅱ）依题意
?12a?4b?3a?2b??3 解得a = 1 , b = – 6 ??8a?4b?6a?4b?3?53
2
所以f ( x ) = x – 6x + 9x + 3
32
（Ⅲ）依题意 f ( x ) = ax + bx – ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 )
f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由f??5?= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当 满足f ( 5 )＜8a＜f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3＜8a＜7a + 3?所以 当
1＜a＜3 111＜a＜3时，方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分 111324、（根的个数问题）已知函数f(x)?x?ax?x?1(a?R)
3 （1）若函数f(x)在x?x1,x?x2处取得极值，且x1?x2?2，求a的值及f(x)的单调区间； （2）若a?
1125，讨论曲线f(x)与g(x)?x?(2a?1)x?(?2?x?1)的交点个数． 2262 解：（1）f'(x)?x?2ax?1
?x1?x2?2a,x1?x2??1
?x1?x2?(x1?x2)2?4x1x2?4a2?4?2
11
?a?0………………………………………………………………………2分
f?(x)?x2?2ax?1?x2?1
令f?(x)?0得x??1,或x?1 令f?(x)?0得?1?x?1
∴f(x)的单调递增区间为(??,?1)，(1,??)，单调递减区间为(?1,1)…………5分 （2）由题f(x)?g(x)得
13x3?ax2?x?1?12x2?(2a?1)x?56 即13x3?(a?12)x2?2ax?16?0 令?(x)?13x3?(a?12)x2?2ax?16(?2?x?1)……………………6分
???(x)?x2?(2a?1)x?2a?(x?2a)(x?1)
令??(x)?0得x?2a或x?1……………………………………………7分
Qa?12 当2a??2即a??1时 x ?2 (?2,1) 1 ??(x) － ?(x) ?8a?9 2 a
此时，?8a?92?0，a?0，有一个交点；…………………………9分 当2a??2即?1?a?12时，
x ?2 (?2,2a) 2a (2a,1) 1 ??(x) ＋ 0 — ?(x) ?8a?9 22 2 3a(3?2a)?16 a Q23a2(3?2a)?16?0, ∴当?8a?92?0即?1?a??916时,有一个交点；
当?8a?92?0，且a?0即?916?a?0时，有两个交点；
12
19时，?8a??0，有一个交点．………………………13分 2291综上可知，当a??或0?a?时，有一个交点；
1629 当??a?0时，有两个交点．…………………………………14分
16x32105、（简单切线问题）已知函数f(x)?2图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数
5a3bxg(x)?f(x)?2?3．
a（Ⅰ） 若函数g(x)在x?1处有极值，求g(x)的解析式；
2（Ⅱ） 若函数g(x)在区间[?1,1]上为增函数，且b?mb?4?g(x)在区间[?1,1]上都成立，求实数m的
当0?a?取值范围．
13
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