高考数学第一轮复习：函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性（第一轮复习）

导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶

自主 性、周期性的综合问题．

梳理

1．函数奇偶性的定义

如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有______________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有

____________，则称f(x)为偶函数．

2．奇偶函数的性质

(1)f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋

f(x)＝____；

f(x)为偶函数?f(x)＝f(－x)＝f(|x|)?f(x)－f(－

x)＝____.

(2)f(x)是偶函数?f(x)的图象关于____轴对称；

f(x)是奇函数?f(x)的图象关于_____ ___对称．

(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函

数在对称的单调区间内有________的单调性．

3．函数的周期性

(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x＋T)＝________，则称f(x)为________函数，其中T称作f(x)的周期．若T存

在一个最小的正数，则称它为f(x)的

________________．

T

(2)性质： ①f(x＋T)＝f(x)常常写作f(x＋)＝

2

T

f(x－)．

2

②如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且

k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)．③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都

有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝错误!或f(x＋a)＝－错误!(a是常数且a≠0)，则f(x)是以______为一个周期的

周期函数．

自我检测

1．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－

7m＋12)为偶函数，则m的值是 ( ) D．4 C．3 B．2 A．1

2．(2011·茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上

是

( )

A．增函数且最小值是－5 B．增函数且最大值是－5 C．减函数且最大值是－5 D．减函数且最小值是－5

1

3．函数y＝x－的图象

x

( )

A．关于原点对称

B．关于直线y＝－x对称

C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称

4．(2009·江西改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)