浙江省杭州市西湖高级中学2017-2018学年高二第一学期12月月考数学试卷

16

答案 (0,3)∪(3，＋∞)

1k－416

解析 当k >4时，c＝k－4，由条件知43； 当0

14－k由条件知4<4<1，解得0

六．解答题（共30分，每题15分）

x2

点F1、F2的坐标、离心率e

22．已知椭圆C的方程为：2＋y＝1。（1）求椭圆的长轴长2a,短轴长2b;（2）求椭圆的焦

2

答案 解析 （1）a＝2,a=2，b＝1，所以a=2，b=1，所以椭圆的长轴长2a=22,2b=2.

22

c2

（2）c=1,所以椭圆的焦点坐标F1(—1,0)、F2(1,0)、离心率e＝a＝2

23．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．

(Ⅰ)求曲线C的方程； →→

(Ⅱ)若OA⊥OB，求k的值．

解析 (Ⅰ)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝2－（3

故曲线C的方程为x2＋4＝1.

(Ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

2

2

)＝1.

y2

y??x2＋＝1，4???y＝kx＋1.

2

2

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0. 2k3

2

故x1＋x2＝－k＋4，x1x2＝－k＋4. →→

若OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0. 而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1.

33k2k于是x1x2＋y1y2＝－k2＋4－k2＋4－k2＋4＋1＝0. 1

化简得－4k＋1＝0.所以k＝±2 2

22