哈工大阵列信号处理第一次作业

Harbin Institute of Technology

阵列信号处理第一次作业

课程名称： 阵列信号处理

哈尔滨工业大学

1.在球坐标系下，由Maxwell 方程推导自由空间的波动方程

由Maxwell方程可以推导出电磁波的波动方程为：

?2?2?2?2E(2?2?2)E???2 (1) ?x?y?z?t代入直角坐标与球坐标的关系

??x?rsin?cos??y?rsin?sin? ??z?rcos?可以得到：

1?r2?r(r2?s?r)?1?rsin???(sin??s??)?1?21?2s2r2sin2???2?c2?t2 根据球面波方程的球对称性，上式简化为：

1?r2?r(r2?s?r)?1?2sc2?t2 即：

?2rs1?2?r2?rsc2?t2 该方程的一个解为：

s?Arexp[j(?t?kr) 同样有如下关系：

k??/c

根据平面波的定义，在球坐标系下，单频平面波的表达式为：

s(r,t)?Arexp[j(?t?k?r)] 2．推导空间采样信号的空、时付氏变换的卷积形式

Z(k,?)?d/d2?????/dY(l,?)W(k?l)dl

其中w(x)为窗函数。

对于有限孔径的感应器，某一感应器接收的信号可以表示为：

z(x,t)?w(x)f(x,t) 其中w(x)为窗函数。

(2) (3) (4) (5) (6) (7)

(1)

通过空间傅立叶变换可得：

W(k)??w(x)exp(jk?x)dx (2)

????F(k,?)????????f(x,t)exp[?j(?t?k?x)dxdt (3)

对接收信号z(x,t)进行傅立叶变换：

Zk,??????????????z?x,t?exp[?j(?t?k?x)dxdtw?x?f?x,t?exp??j?t?exp??jk?x??dxdt??????????w?x?Fo?x,??exp??jk?x??dx????????????w?x?F?l,??exp???jl?x?exp?jk?x?dldx??F?l,????w?x?exp?j?k?l??x?dx?dl????W?k?l?F?l,??dl??w?x??????????????????????????Fl,?exp???jl?x?dlexp?jk?x?dx

(4)

其中，Fo?x,???综上所述，可得

????f?x,t?exp??j?t?dt。

?Z(k,?)??W(k?l)F(l,?)dl (5)

??3．设在自由空间中有两个平面传播，一接收阵列沿x方向排列，两平面波传播速度相同为c，第一个平面波的频率为w1，与x轴的夹角为j1；，第二个平面波的频率为w2，与x轴的夹角为j2：

A.如果两个信号的空间频率相同，信号频率满足什么关系；

k1=2pcos(jl11)=2pcos(jcf12pcos(jcf21))=2pcos(jcw12p2pcos(jcw22p1))w1cos(j1) )

k2=2pcos(jl22)=2=2w2cos(j2

若满足：k1=k2 则有：w1cos(j1)=wcos(j)

2221w1cos(j信号频率满足：=w2cos(j) )B．如果w1>w2，阵列的采样间距应满足什么条件。

为了避免出现模糊，空间采样间隔应该满足：

d￡pc

w因为w1>w2，所以d应满足两个间距中较小的：

d￡pcw1

4.两个等间距的线阵，分别由8个阵元构成，间距为d。第一个阵列的窗函数为:1，1，1/2，1/2，1/2，1/2，1，1。第二个阵列的窗函数为:1/2，1/2 ，1，1，1，1，1/2，1/2。分别计算各阵列的平滑函数(窗函数)。

平滑函数计算公式：

Wk=ò- wxexpjk xdx

()￥()()设8阵元均匀线阵阵元位置如下图所示：

-7d/2 -5d/2 -3d/2 -d/2 d/2 3d/2 5d/2 7d/2 X 对窗函数计算有限长的傅立叶变换得到：

W1k=ò- wxexpjk xdx=?w(m)ejkx(m-7/2)dm=0M-1()￥()()=e-jkx7d/2+e-jkx5d/2+1/2(e-jkx3d/2+e-jkxd/2+ejkxd/2+ejkx3d/2)+ejkx5d/2+ejkx7d/2=(e-jkx7d/2+ejkx7d/2)+(e-jkx5d/2+ejkx5d/2)+1/2[(e-jkx3d/2+ejkx3d/2)+(e-jkxd/2+ejkxd/2)]=2[cos(kx7d/2)+cos(kx5d/2)]+[cos(kx3d/2)+cos(kxd/2)]=4cos(3kxd)cos(kxd/2)+2cos(kxd)cos(kxd/2)=2cos(kxd/2)(2cos3kxd+coskxd)

W2k=ò- wxexpjk xdx=?w(m)ejkx(m-7/2)dm=0M-1()￥()()=1/2(e-jkx7d/2+e-jkx5d/2)+(e-jkx3d/2+e-jkxd/2+ejkxd/2+ejkx3d/2)+1/2(ejkx5d/2+ejkx7d/2)=1/2[(e-jkx7d/2+ejkx7d/2)+(e-jkx5d/2+ejkx5d/2)]+[(e-jkx3d/2+ejkx3d/2)+(e-jkxd/2+ejkxd/2)]=[cos(kx7d/2)+cos(kx5d/2)]+2[cos(kx3d/2)+cos(kxd/2)]=2cos(3kxd)cos(kxd/2)+4cos(kxd)cos(kxd/2)=2cos(kxd/2)(cos3kxd+2coskxd)