课时分层训练(五) 函数的单调性与最值
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是( ) A．y＝2－x C．y＝log2x
B．y＝x 1
D．y＝－x
B [由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．]
b
2．若函数y＝ax与y＝－x在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
【导学号：57962031】
A．增函数 C．先增后减
B．减函数 D．先减后增
b
B [由题意知，a＜0，b＜0，则－2a＜0，从而函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．]
3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的递减区间是( ) 3??
A.?－∞，2? ??3??
C.?－1，2? ??
?3?
B．?2，＋∞?
???3?D．?2，4?
??
D [要使函数有意义需4＋3x－x2＞0， 解得－1＜x＜4，∴定义域为(－1,4)． ?3?25
令t＝4＋3x－x2＝－?x－2?2＋4.
??
3???3?
则t在?－1，2?上递增，在?2，4?上递减，
????
25??
又y＝ln t在?0，4?上递增，
??
?3?
∴f(x)＝ln(4＋3x－x)的递减区间为?2，4?.]
??
2
4．(2017·陕西二模)某商场2016年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为( )
【导学号：57962032】
?1?A．f(x)＝20×?2?x
??C．f(x)＝x2－12x＋19
B．f(x)＝－6log3x＋8 D．f(x)＝x2－7x＋14
D [因为选项A，B中的函数均为递减函数，不满足题意；选项C中，f(1)＝1－12＋19＝8，f(3)＝32－12×3＋19＝－8≠2，不满足题意；选项D中，函数满足先减后增，且f(1)＝1－7＋14＝8，f(3)＝32－7×3＋14＝2，满足题意，故选D.]
?x2＋2x，x≥0，
5．(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝?2若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，
?x－2x，x＜0.则a的取值范围是( )
A．[－1,0) C．[－1,1]
B．[0,1] D．[－2,2]
C [因为函数f(x)是偶函数，故f(－a)＝f(a)，原不等式等价于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函数在[0，＋∞)上递增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.]
二、填空题
6．(2017·江苏常州一模)函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为________.
【导学号：57962033】
3??2－∞，?? [∵0＜－x＋22≤22， 2??
∴当x＝0时，f(x)取得最大值， 3f(x)max＝f(0)＝log222＝2， 3??－∞，∴f(x)的值域为?.] 2???
??1??
7．已知函数f(x)为R上的减函数，若m＜n，则f(m)________f(n)；若f??x??
????＜f(1)，则实数x的取值范围是________．
?1?
＞ (－1,0)∪(0,1) [由题意知f(m)＞f(n)；?x?＞1，
??即|x|＜1，且x≠0.故－1＜x＜1且x≠0.]
?－x＋a，x＜1，
8．(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝?x的最小值为2，则实数a
?2，x≥1的取值范围是________．
[3，＋∞) [当x≥1时，f(x)≥2，当x＜1时，f(x)＞a－1.由题意知a－1≥2，∴a≥3.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－的最大值和最小值．
2?2?－??＝－[解] 设0≤x1＜x2≤2，则f(x1)－f(x2)＝－－
x1＋1?x2＋1?2?x2＋1－x1－1?2?x2－x1?
＝－.
?x1＋1??x2＋1??x1＋1??x2＋1?
由0≤x1＜x2≤2，
得x2－x1＞0，(x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在区间[0,2]上是增函数. 因此，函数f(x)＝－
10分 6分 3分
2
，x∈[0,2]，用定义证明函数的单调性，并求函数x＋1
2
在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大x＋1
12分
2
值，即最小值是f(0)＝－2，最大值是f(2)＝－3. x
10．已知f(x)＝(x≠a)．
x－a
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上递减，求a的取值范围． [解] (1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝
x1x2
－ x1＋2x2＋2
2分
2?x1－x2?＝. ?x1＋2??x2＋2?
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， ∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)内递增. (2)f(x)＝
x－a＋axa＝＝1＋， x－ax－ax－a
5分
当a＞0时，f(x)在(－∞，a)，(a，＋∞)上是减函数， 又f(x)在(1，＋∞)内递减，
∴0＜a≤1，故实数a的取值范围是(0,1].
B组 能力提升 (建议用时：15分钟)
8分
12分
1．(2017·湖北枣阳第一中学3月模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A．[0,3]
C．[2－2，2＋2]
B．(1,3)
D．(2－2，2＋2)
D [由题可知f(x)＝ex－1＞－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1， 若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]， 即－b2＋4b－3＞－1，即b2－4b＋2＜0， 解得2－2＜b＜2＋2.
所以实数b的取值范围为(2－2，2＋2)，故选D.]
2．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b＝ab＋a＋b，a，b是正实数，已知1] .
【导学号：57962034】
(1，＋∞) [由题意知1]k)＋1＋k＝3，解得k＝1或k＝－2(舍去)， 1?3?
所以f(x)＝k*x＝1]x)＋x＋1＝?x＋2?2＋4，因为x＞0，所以f(x)＞1，即f(x)
??的值域是(1，＋∞)．]
?x1?
3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?x?＝f(x1)－f(x2)，且当x>1
??2时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取xx1
1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则x2
>1，
当x>1时，f(x)<0，∴f??x1?
?x2??<0，
即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1) 而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2. 3分 5分 7分 9分 12分
相关推荐：
loading