用均值不等式求最值的方法和技巧1

专题 用均值不等式求最值的方法和技巧

一、几个重要的均值不等式

a2?b2(a、b?R)，①a?b?2ab?ab?当且仅当a = b时，“=”号成立； 222?a?b??②a?b?2ab?ab??当且仅当a = b时，“=”号成立； ?(a、b?R)，?2?2a3?b3?c3③a?b?c?3abc?abc?当且仅当a = b = c时,“=”(a、b、c?R?)，3号成立；

333a?b?c??④a?b?c?33abc?abc??= b = c时,“=”??(a、b、c?R) ,当且仅当a 3??3号成立.

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：

21?aba?b?ab??12a2?b2。 2二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数y?x?1(x?1)的最小值。 22(x?1)

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值：

?3①y?x2(3?2x)(0?x?) ②y?sin2xcosx(0?x?)

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评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x、y?R?，求f(x)?x?4(0?x?1)的最小值。 x

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，

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配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。

81例4、已知正数x、y满足??1，求x?2y的最小值。

xy

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x、y满足xy?x?y?3，试求xy、x?y的范围。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项） 例1 求函数

评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）

例2 已知x?0,y?0，且满足3x?2y?12，求lgx?lgy的最大值.

评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利

y?3x2?162?x2的最小值.

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?a?b?ab???2??来解决. 用

2 3、 裂项

x?5??x?2??y? 例3 已知x??1，求函数x?1的最小值.

4、 取倒数

例4 已知

0?x?1(x?1)22，求函数y?x(1?2x)的最小值.

5、 平方

2y2 例5 已知x?0,y?0且2x?3?8求x6?2y2的最大值.

评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为x6?2y2，先配系数，再运用均值不等式的变式. 6、 换元（整体思想） 例6 求函数y?x?22x?5的最大值.

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7、 逆用条件

19??1(x?0,y?0)xy 例7 已知,则x?y的最小值是（ ） .

19?x?0,y?0,x?y?1xy的最大值，评注 若已知 (或其他定值)，要求则同

样可运用此法. 8、 消元

y2 例9、设x,y,z为正实数，x?2y?3z?0，则xz的最小值是.

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